【中学受験算数】Ⅵ-05．多角形

中学受験 算数 [VI] 平⾯図形 05. 多⾓形 2026/3/7 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa

z 多⾓形 – １．円 l 円とは、１つの中⼼からの⻑さが等しくようにかいたまるい形 l 円の中⼼から円周の点までの線の⻑さを半径という。半径は全て同じ⻑さなので、中⼼と円周上の2点を繋 いだ三⾓形は、必ず⼆等辺三⾓形になる （３）円と⾓度 【定義（最初に決めた出発点） 】 Ø 円の中⼼から円周上の点までの ⻑さ（＝半径）がみな等しいため、 ⼆等辺三⾓形になる 円周︓円のまわりのこと 半径 中⼼ ＝ 直径︓円周上の1点から中⼼を通って反対側の円周まで 円周⾓ 中⼼⾓︓円周上の2点と円の中⼼ 中⼼ 中⼼⾓ 3/7/26 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa （２）円の性質 Ø 直径 = 半径×2 Ø 直径は、円の中に引いた直線の中で最も⻑い A Ø 円周上の点と直径を結んでできる 三⾓形は、直⾓三⾓形になる 【成り⽴つ理由】 ● ○ B ● ＝ 円周 ひいた⻑さ ● ● 半径︓中⼼と円周上の１点を結んだ 線の⻑さ（どれも等しい） を結んでできる円の中⼼ にある⾓ 円周⾓︓円周上の2点と、円周上 のもう1点を結んだ線分の なす⾓ 中⼼ O ＝ 直径 ＝ 円︓１つの点から⻑さが 等しい点の集まり ⾓の⼤きさが 等しい ＝ （１）円の定義 中⼼OとAを結んで⼆等辺三⾓形を作る 中⼼ 三⾓形OAB、三⾓形OACは どちらも⼆等辺三⾓形になり、 ●同⼠、○同⼠の⾓の⼤きさは等しい 三⾓形ABCの内⾓の和は180°より、 ● + ● + ○ + ○ = 180° したがって、 ⾓Aは ● + ○ = 90° 円周⾓ Ø （円周⾓の定理） 円周⾓の⼤きさ ＝中⼼⾓の⼤きさ÷ 𝟐 ※成り⽴つ理由は、上と同じで、 180°を中⼼⾓と読み替える ○ C ●○ 中⼼ ● ●●○○ 中⼼⾓ ○ 1

z 多⾓形 – ２．正多⾓形 l 正多⾓形は、辺の⻑さも⾓の⼤きさが全て等しい多⾓形で、円周を等分した点を順にむすんだ図形 （１）正多⾓形 （２）対称 Ø 正多⾓形︓辺の⻑さも⾓の⼤きさも全て等しい多⾓形 円周を等分した円を順に結んだ多⾓形 Ø 線対称︓1本の直線を折り⽬として2つ折りにしたときに 両側の部分がぴったり重なる図形 【定義】 軸 ー ー ー ー ー 【定義】 ü 中⼼までの 距離が同じ 360° ÷ 6 = 60° 中⼼ ー ー 中⼼ 中⼼ - ー ー ー ー A 正⽅形 正五⾓形 正六⾓形 中⼼⾓ 120° 90° 72° 60° ー 内⾓(1点) 60° 90° 108° 120° 線対称 ○ ○ ○ ○ 点対称 × ○ × ○ 対⾓線 0本 2本 5本 9本 （解）正⼗⾓形の中⼼から補助線を引くと、 C 𝑥° ∠AOB = 360° ÷ 10×3 = 108° 三⾓形OACは⼆等辺三⾓形より、 O ∠OAB = 180 − 108 ÷ 2 = 36° B 中⼼⾓∠AOC = 360° ÷ 10 = 36°より、 ∠OAC = 180° − 36° ÷ 2 = 72° 3辺分なので 中⼼⾓も3個分 したがって、 𝑥 = 72° − 36° = 36° ー 3/7/26 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 正三⾓形 ー （例）右図は正⼗⾓形です。𝑥は何度か︖ 【性質】 ü 中⼼を通る線で分割した 2つの図形は同じ⾯積 - ー ー ー ー 360° ÷ 5 ー = 72° Ø 点対称︓1つの点を中⼼にして180°回転させたときに、 元の図形にぴったり重なる図形 ! ー ー 正五⾓形 ー 正六⾓形の⼀辺と 正六⾓形 同じ正三⾓形が ６つできる ! 【性質】 ü 軸で分割した ２つの図形は同じ⾯積 ! ー ー ー Ø 正N⾓形の中⼼⾓= 𝟑𝟔𝟎° ÷ 𝑵 ! - ー ü 軸までの 距離が同じ - ー ー ー ー 正六⾓形 ー 正五⾓形 2

z 多⾓形 ー ３．多⾓形の⾓度 l N⾓形の内⾓の和＝𝟏𝟖𝟎°× 𝑵 − 𝟐 （例︓五⾓形ならば180°× 5 − 2 = 540°） l N⾓形の対⾓線の本数=𝑵× 𝑵 − 𝟑 ÷ 𝟐 [本] （例︓五⾓形ならば5× 5 − 3 ÷ 2 = 5[本]） （１）内⾓・外⾓ （２）対⾓線の数 Ø N⾓形の内⾓の和＝𝟏𝟖𝟎°× 𝑵 − 𝟐 Ø N⾓形の対⾓線の本数=𝑵× 𝑵 − 𝟑 ÷ 𝟐 [本] 【成り⽴つ理由】 1つの頂点から、となり以外の頂点に直線を 引くと、三⾓形ができるので、 𝑁⾓形は、𝑁 − 2個の三⾓形に分けることができる 三⾓形の内⾓の和は 180° なので、180°× 𝑁 − 2 1 Ø N⾓形の外⾓の和＝𝟑𝟔𝟎° 2 3 五⾓形の場合、 3個の三⾓形に 分けられる 【成り⽴つ理由】 1つの頂点で、内⾓＋外⾓= 180° N⾓形の内⾓と外⾓の合計は、頂点がN個 あるので、 180°×𝑁 内⾓の合計は、180°× 𝑁 − 2 なので、 外⾓の合計は残りの 180°×2 = 360° 正多⾓形でなくて、普通の多⾓形でも成り⽴つ︕ （例）内⾓の1つが150°の正多⾓形は何⾓形か︖ 3/7/26 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa （解）内⾓＋外⾓＝180°なので、 外⾓= 180° − 150° = 30° 外⾓の和は360°なので、360 ÷ 30 = 12個頂点があるの で、正⼗⼆⾓形 （別解）内⾓に着⽬すると、180°× 𝑁 − 2 ÷ 𝑁 = 150° 𝑁 = 360 ÷ 30 = 12 なので、正⼗⼆⾓形 ※内⾓に注⽬すると逆算しづらいので、そのときは外⾓に注⽬︕ 【成り⽴つ理由】 五⾓形の場合、 1つの頂点から、となりの2つ以外の頂点に 頂点 5 − 3 = 2本ずつ となりの 対⾓線を引くことができるので、 となりの 1つの頂点から引ける対⾓線の数は𝑁 − 3本 頂点 × × 頂点 N個の頂点があるので、対⾓線の数は 𝑁 − 3 ×𝑁本引けるが、 おたがいの頂点から重複して数えているため、 𝑁 − 3 ×𝑁 ÷ 2[本] おたがいの 頂点から重複して カウント （３）星型の⾓度 Ø 五⾓形の場合、対⾓線は5本で星型になる Ø 星型・⼀筆書きの⾓度の合計は、外⾓を利⽤して考える （例）右の5つの⾓度の⼤きさの和は︖ （解）緑⾊の三⾓形に着⽬すると、 A+C、B+Dの外⾓が、それぞれ B 緑⾊の三⾓形の内⾓の⼀つに なるので、合計は180° C A B+D E A+C D 3