作図のいろは | 詳細版 (こぎつねの数学部屋)

作図のいろは こぎつね September 18, 2026 Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 0 / 21

作図について 「ぜんぜん解き方が思いつかない...」 「答えをみると分かるんだけど...」 「テストに出るとあせっていまう...」 目標 作図の基本と、初めて見る作図の問題にとりくむコツをつかむ ! 作図にとりくむ 3 つのコツ · · · 次の 3 つをおさえる 1 2 3 作図の基本 3 選 あたえられた点を通る垂線 線分の垂直二等分線 角の二等分線 よくある言いかえ 逆算で考えるやり方 Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 1 / 21

§1. 作図の基本 3 選 Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 2 / 21

1 作図の基本○: あたえられた点を通る垂線 P P ! A 点 P を通る直線 ! への垂線の作図 B ! Q 解答例 (PQ が点 P の直線 ! への垂線) ステップ 1. P を中心とする半径 r の円を描き、交点 A と点 B をえる ステップ 2. 点 A と点 B を中心とする半径 r の円から、交点 Q をえる Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 3 / 21

2 作図の基本○: 線分の垂直二等分線 P A A B M B Q 線分 AB の垂直二等分線の作図 解答例 (PQ が線分 AB の垂直二等分線) ステップ 1. 点 A と点 B のそれぞれから円を描く ステップ 2. 二つの円から交点 P, Q をえる Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 4 / 21

3 作図の基本○: 角の二等分線 B B D O O A P C A ∠AOB の二等分線の作図 解答例 (OP が ∠AOB の二等分線) ステップ 1. 点 O から円を描き、交点 C , D をえる ステップ 2. 同じ半径の円を点 A, B からそれぞれ描き, 交点 P をえる Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 5 / 21

これらを理解するために大切な意識 2 つ コンパスと定規で特別な図形をつくる 作図したい点とは、何かの交点である Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 6 / 21

1 大切な意識○: 特別な図形をつくる (1/2) P B P D A B ! A M P B O C A Q Q 垂線 垂直二等分線 角の二等分線 → Q. 上のやり方で、どうして作図できているんだっけ...? Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 7 / 21

1 大切な意識○: 特別な図形をつくる (2/2) P B P D A B ! A M P B O C A Q Q 垂線 垂直二等分線 角の二等分線 # A. ポイントは、ひし形を作っていたこと！ ひし形 (四辺の長さがすべて等しい四角形) の性質 1 2 二つの対角線は、直角に交わる 対角線は、角の二等分線である Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 8 / 21

おさえておきたい特別な図形 正三角形 (三辺の長さがすべて等しい三角形) C 60◦ 60◦ 60◦ A B 60° といったら、正三角形 円に内接する直角三角形 (AC が中心 O を通る ⇐⇒ ∠ABC = 90°) B A Kogitsune O C 円周角の定理の特別な場合 作図のいろは September 18, 2026 9 / 21

2 大切な意識○: 作図したい点とは、何かの交点である 作図したい点とは、なんらかの特別な 直線と直線 or 直線と円 or 円と円 の交点である！(# $ 条件に合う線や円を引いていく) 例 (線分 AB の中点 M) P A B A M B Q # 中点 M は、垂直二等分線 PQ と線分 AB の交点。 Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 10 / 21

§2. よくある言いかえ Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 11 / 21

よくある言いかえをおさえる (1/2) 先ほどの中点 M を作図する例をよく見ると... 例 (線分 AB の中点 M) P A B A # 中点 M は、垂直二等分線 PQ と線分 AB の交点。 M B Q 垂直二等分線を描けばいいだけの問題が、中点を作図する問題に 言いかえられている！ # 必要: 問題文の条件が、どの作図の基本の言いかえかを判断 Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 12 / 21

よくある言いかえをおさえる (1/2) 作図のテストのためにできる準備 問題にとりくみ、間違ったり手こずったりした部分から、いろい ろな言いかえをストックしていく たとえば、 「線分 AB の中点 M」 → 中点 M は AB の垂直二等分線と線分 AB の交点 点 P は点 A と点 B から等しい距離にある → 点 P は線分 AB の垂直二等分線上 「↔ABC に対し、点 P は AB、BC から距離が等しい位置にある」 → 点 P は角 ∠ABC の二等分線上 # ノートにまとめていくと good！ (できれば、図と理由も) Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 13 / 21

§3. 逆算で考えるやり方 Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 14 / 21

逆算で考えるやり方をおさえる どのように問題にとりくむか # Answer. 今までのコツを総動員 + 逆算で考える 問題へのとりくみ方 (点 P の作図) ステップ 1. 問題図を用紙の空いている場所に描く ステップ 2. 条件文に下線部を引き、条件の個数と内容をはあく ステップ 3. ステップ 1 の図に、条件をみたす点 P を書き込む ステップ 4. 点 P がもつ特徴を考え、作図の基本に言いかえる # ステップ 4 で作図の基本や特別な図形に「言いかえ」られれば、 ステップ 5. 言いかえた作図を描いていき、交点が答え Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 15 / 21

逆算で考えるやり方をおさえる (実践例) 問題 (大分 ’26) 下の図のように ↔ABC がある。この三角形の内部に、 2 つの辺 AB、AC から等しい距離にあり、∠BPC = 90° となるよう な点 P を、作図によって求めなさい。 A B Kogitsune C 作図のいろは September 18, 2026 16 / 21

ステップ 1. 問題図を用紙の空いている場所に描く 問題 (大分 ’26) 下の図のように ↔ABC がある。この三角形の内部に、 2 つの辺 AB、AC から等しい距離にあり、∠BPC = 90° となるよう な点 P を、作図によって求めなさい。 A B C Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 17 / 21

ステップ 2. 条件文に下線部を引き、条件の個数と内容をはあく 問題 (大分 ’26) 下の図のように ↔ABC がある。この三角形の内部に、 2 つの辺 AB、AC から等しい距離にあり、∠BPC = 90° となるよう な点 P を、作図によって求めなさい。 1 A 2 B 「P ↔ AB」 = 「P ↔ AC」 ∠BPC = 90° C Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 18 / 21

ステップ 3. ステップ 1 の図に、条件をみたす点 P を書き込む 問題 (大分 ’26) 下の図のように ↔ABC がある。この三角形の内部に、 2 つの辺 AB、AC から等しい距離にあり、∠BPC = 90° となるよう な点 P を、作図によって求めなさい。 1 A * 2 「P ↔ AB」 = 「P ↔ AC」 ∠BPC = 90° ⚫ V B C Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 19 / 21

ステップ 4. 点 P がもつ特徴を考え、作図の基本に言いかえる 問題 (大分 ’26) 下の図のように ↔ABC がある。この三角形の内部に、 2 つの辺 AB、AC から等しい距離にあり、∠BPC = 90° となるよう な点 P を、作図によって求めなさい。 1 A t 2 C Kogitsune ∠BPC = 90° ⇓ ⚫ B 「P ↔ AB」 = 「P ↔ AC」 1 2 作図のいろは P は角 ∠BAC の二等分線上 P は BC の中点を中心とする 円上 September 18, 2026 20 / 21

ステップ 5. 言いかえた作図を描いていき、交点が答え 問題 (大分 ’26) 下の図のように ↔ABC がある。この三角形の内部に、 2 つの辺 AB、AC から等しい距離にあり、∠BPC = 90° となるような点 P を、 作図によって求めなさい。 1 A 2 P は角 ∠BAC の二等分線上 P は BC の中点を中心とする円上 & ↳ B 解答例 1 C 2 =⇒ 答え. ! と円 O の交点が点 P Kogitsune 作図のいろは ⇓ ∠BAC の二等分線 ! を引く BC の垂直二等分線を引き、中点 M をえる。# M を中心とする 半径 BC の円 O を描く September 18, 2026 21 / 21

まとめ Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 1/6

1 作図のポイント○: 作図の基本 3 選 絶対におさえる作図 3 選 P B P ! A B O 点 P を通る垂線 線分 AB の垂直二等分線 A 角 ∠AOB の二等分線 $ ひし形をつくることで、３つの作図ができる Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 2/6

2 作図のポイント○: 二つの意識 $ 作図したい点は、特別な図形を用いて作る！ おさえておきたい特別な図形 C B B 60◦ C A 60◦ 60◦ A O C O A B 正三角形 円に内接する直角三角形 合同な三角形 $ 作図したい点は、なんらかの特別な図形からえられる 直線と直線 の交点である！ Kogitsune or 直線と円 or 円と円 作図のいろは September 18, 2026 3/6

3 作図のポイント○: 問題文の条件を言いかえる力 問題文の条件を、 作図の基本 3 選や特別な図形に言いかえる力 をつける！ 作図のテストのためにできる準備 間違ったり手こずったりした問題から、いろいろな言いかえをス トックしていく 例 (三角形の合同をつかう) 三角形 ↔ABC に対して、 「点 P は AB、BC から距離 が等しい位置にある」 Kogitsune → 作図のいろは 点 P は角 ∠ABC の二等分線 上にある September 18, 2026 4/6

4 作図のポイント○: 逆算で考えてみるやり方 $ 問題へのとりくみ方 = 今までのポイント + 逆算で考える 作図の問題へのとりくみ方 (点 P の作図) ステップ 1. 問題図を用紙の空いている場所に描く ステップ 2. 条件文に下線部を引き、条件の個数と内容をはあく ステップ 3. ステップ 1 の図に、条件をみたす点 P を書き込む ステップ 4. 点 P がもつ特徴を考え、作図の基本に言いかえる # ステップ 4 で作図の基本や特別な図形に「言いかえ」られれば、 ステップ 5. 言いかえた作図を描いていき、交点が答え Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 5/6

fin Kogitsune 作図のいろは September 18, 2026 6/6