【連合講演会2026】リアプノフ方程式の求解に対するデータ・事前知識対の情報性解析

リアプノフ方程式の求解に対する データ・事前知識対の情報性解析 京都大学 坂野 幾海 2026/11/07 第69回自動制御連合講演会 (1B2-6) 0

背景：データ駆動型制御 データ情報性 [van Waarde, 2020] • 『データセットが，所与の解析/設計を行うために 十分な情報量を持っているか』を表す概念 入力𝑢 状態𝑥 𝑡 𝑡 このデータで安定性判別 は原理的に可能か？ システムの計測データ • 多くの研究では，システムの事前知識がない場合を仮定 - 一方で，現実の場合は事前知識が利用可能なことも多い システム事前知識が利用可能な場合 • [Iwata, 2025]： 非負システムであることが既知 • [Huang, 2026]：システムの一部パラメタの厳密値が既知 • パラメタの不等式制約など，一般の場合は扱えない 1

研究概要 研究目的 「計測データ＋一般の事前知識」が利用可能なときに， システム解析が可能となるための条件を明らかにする - 今回：システムに対応するリアプノフ方程式を解く問題 発表の概要 • 「一般の事前知識」を扱うため，モデル集合を導入する • データの情報性を「データ・モデル集合の組」に対し一般化 • この概念に基づいて，必要十分条件を導出 今回 従来 状態𝑥 𝑡 データセット ＋ 𝑥 𝑡 = 𝑨𝟏 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑨𝟐 𝑥 𝑡 このデータで データ+モデル集合から ⋮ システム解析可能か？ システム解析可能か？ モデル集合 2

問題設定 (1/3) 対象システム 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 - 𝐴 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 : 未知，安定行列（簡単のための仮定） - 事前知識として 𝐴 ∈ 𝚺𝐩𝐤 なる集合𝚺𝐩𝐤 が既知 - 𝑥 0 = 𝑥0 に対する状態軌道データ𝓓が利用可能 𝑥(𝑡) 𝓓 𝒟: 𝑥 𝑡, 𝑥0 𝑡 ∈ 0, 𝜏 𝑡 リアプノフ方程式 𝐴𝑷 + 𝑷𝐴⊤ = −𝑄 - 各々の𝑄 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 で，解𝑃 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 は一意 (𝐴が安定の場合) • この方程式の求解問題は，安定性・可制御性解析に対応 • 一意解𝑃をデータ・事前知識から求める問題を考える 3

問題設定 (2/3) 定式化の準備：A行列の候補集合 • データ・事前知識から定まる「𝐴行列の候補」を考えてみる A行列のクラス全体 (= 𝐑𝒏×𝒏 ) 𝐴1 𝚺𝓓 データに無矛盾 なモデル集合 𝐴4 𝐴2 𝐴 (真値) 𝐴6 𝚺𝐩𝐤 𝐴5 𝐴3 事前知識による モデル集合 (データに無矛盾なモデル集合) ≔ 𝐴: 安定 𝒙 = 𝑨𝑥が𝒙 𝒕, 𝒙𝟎 を解にもつ} - 通常のシステム同定の一般化 (のようなもの) • 「𝐴行列の候補」＝ と の共通部分！ - 「候補」は一般に複数 (gray-box同定不可な場合に対応) 4

問題設定 (3/3) • データ/事前知識からリアプノフ方程式の解は求められるか？  ダメな例：解候補が無数… ✓ 嬉しい例：解候補が一意！ [定義] 右図の状況が成り立つとき， 「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」と呼ぶ - データ・事前知識が方程式を解くのに十分な情報量を有すること [問題] 「(𝒟, 𝚺𝐩𝐤 )が…informative」の必要十分条件を求めよ 5

問題の解 • 次式を満たす 𝐴0 , 𝐴1 , … , 𝐴𝑑 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 を考える (常に存在) (𝚺𝓓 ∩ 𝚺𝐩𝐤 のAffine Hull) = 𝐴0 + span 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑑 データ・事前知識からなる「A行列の候補集合」 定理 「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」 ⇔ 𝐴0 𝑿 + 𝑿𝐴0⊤ = −𝑄 𝐴𝑖 𝑿 + 𝑿𝐴𝑖⊤ = 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑑) に解𝑿が存在する • 𝒅 + 𝟏個の行列方程式系の可解性で特徴づけられる • 事前知識𝚺𝐩𝐤 がどんな集合であっても使える 6

定理のアイデア • 「informativeである」を数式で表すと： ∃𝑃 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 such that 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴⊤ = −𝑄 𝐴6 𝑃 + 𝑃𝐴⊤6 = −𝑄 ⋮ ⇔ ・ ⋯ ∗ ⋯ 𝚺𝓓 ∪ 𝚺𝐩𝐤 の要素 ・一般に無限個の方程式 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑑 • (𝚺𝓓 ∩ 𝚺𝐩𝐤 のAffine Hull) = 𝐴0 + span あ より， 𝑑 = 𝐴0 + 𝑐𝑖 𝐴𝑖 とパラメトライズできる 𝑖=1 • ∗ の式に代入・整理すると，定理の行列方程式が得られる 7

おわりに まとめ • 「計測データ＋一般の事前知識」が利用可能なときに， リアプノフ方程式の求解が可能となるための条件を導出 - 行列方程式系の可解性で特徴づけられる - 事前知識𝚺𝐩𝐤 はどのような集合でもよい • 予稿では，これに加えて： - 計測データ＋事前情報からリアプノフ方程式の解を求める - 事前情報が特別な構造を持つ場合 今後の展望 • リアプノフ不等式の求解・安定化制御器設計への発展 • 状態軌道データから入出力データへの拡張 8

Appendix 参考スライド 9

データ駆動制御とは？ 計測データからシステムを解析・設計する ①システム同定による「二段階法」 1.計測データを収集する 入力 出力 𝑡 𝑡 ②データ駆動型の手法 2. 計測データから制御対象の 数学モデルを同定 𝑌 𝑠 =𝐺 𝑠 𝑈 𝑠 - 同定不可でも適用可能？ - 同定コスト削減が期待 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥(𝑡) 3. モデルから制御器を設計 • ②の新展開：データ情報性[van Waarde, 2020]に基づくアプローチ 10

数値例 (1/2) 対象システム・リアプノフ方程式 • システム： 𝑥 𝑡 = −1 1 𝑥 𝑡 0 −2 =𝐴 • 事前知識： Σpk = 𝐴 ∈ 𝐑2×2 0 < 𝑎12 < 2, 𝑎22 = −2 • データ： 𝑥 0 = 1 0⊤ • リアプノフ方程式： 問題 𝒟 𝐴𝑷 + 𝑷𝐴⊤ = − 2 3 −3 0 =𝑄 • いつ「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」？ 11

数値例 (2/2) 定理から確認する • 右図を考えると −1 0 + span 0 −2 (𝚺𝓓 ∩ 𝚺𝐩𝐤 のAffine Hull) = = 𝐴0 0 1 0 0 = 𝐴1 • 定理より，informativeであるための必要十分条件は， 𝐴0 𝑿 + 𝑿𝐴0⊤ = −𝑄 𝐴1 𝑿 + 𝑿𝐴1⊤ = 0 に解𝑋が存在すること 1 • 行列方程式は解 𝑿 = 1 −1 0 をもつため， 「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」である 12

そのほかの成果 リアプノフ方程式の求解 • 定理で導入した行列方程式を考える 𝐴0 𝑿 + 𝑿𝐴0⊤ = −𝑄 𝐴𝑖 𝑿 + 𝑿𝐴𝑖⊤ = 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑑) ∗ • 「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」なら， 解𝑋は一意で， 𝐴𝑷 + 𝑷𝐴⊤ = −𝑄 の解𝑃に等しい 特殊な事前情報の場合 • システムが次式のクラスで書けることが既知 𝑥 𝑡 = (𝐴𝑟 + 𝐻𝐶)𝑥 𝑡 • (𝐶, 𝐴r : 既知行列) ∗ は𝑑 + 1本の方程式だったが，この場合は高々3本になる 13