2階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題(ver.1)

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April 01, 24

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1.

§1. 2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題 n ≥ 1 とし,波動方程式の微分作用素である d’ALembertian □ = ∂t2 − ∆ を一般 化した微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 について,初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える.ただし,ここで • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn ):実数値,g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • F (t, x):外力(given),実数値 • u0 (x), u1 (x):初期値(given),実数値 奏理音ムイ(Vtuber) 1 / 47

2.

初期値問題の適切性 初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn が適切(well-posed)であるとは, 1 解の存在 2 解の一意性 3 解のデータに関する連続依存性 が成立することをいう(Hadamard, 1902). 奏理音ムイ(Vtuber) 2 / 47

3.

双曲型作用素 以下,すべての (t, x) ∈ R × Rn について g 00 (t, x) ̸= 0 とする.微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対し,最高階の微分の部分 L0 = n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を L の主要部(principal part)という. また,L0 の ∂ = (∂0 , ∂1 , . . . , ∂n ) を ξ = (ξ0 , ξ ′ ) = (ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) でおきかえて 得られる ξ の多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を L の特性多項式(characteristic polynomial)という. 奏理音ムイ(Vtuber) 3 / 47

4.

いま,g 00 (t, x) ̸= 0 の仮定より,特性多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を ξ0 の多項式とみると,2 次の多項式となる.その根は   1/2  2   n n n  X   X X 1  ± ′ 0j 0j  00 jk  .  λ (t, x, ξ ) = 00 − g ξj ± g ξj ξk g ξj −g    g  j=1  j=1 j,k=1 これらを L の特性根(characteristic roots)という. 奏理音ムイ(Vtuber) 4 / 47

5.

Definition 1 微分作用素 L が(t 方向に)双曲型(hyperbolic)であるとは,任意の (t, x, ξ ′ ) ∈ R × Rn × Rn に対して,L の特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) が実数であるときを いう. また,L が正規双曲型(regularly hyperbolic)であるとは,L が双曲型でありかつ, inf (t,x)∈R×Rn |ξ ′ |=1 |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| > 0 が成立するときをいう. ※ L が d’Alembertian に適当な意味で十分近い (i.e., 行列 (g jk )0≤j,k≤n が diag(1, −1, . . . , −1) に十分近い)ならば,L は正規 双曲型となる. 目標 L が d’Alembertian に適当な意味で十分近いときに,L に対する初期値問題の適 切性を証明すること. 奏理音ムイ(Vtuber) 5 / 47

6.

§2. 弱解の定義 T > 0 として,微分作用素 L= n X j,k=0 jk g (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (IVP) (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn を考える.係数 g jk , bj , a は C 2 ([0, T ) × Rn ) に属し,実数値であるとする.また g jk = g kj とする. u ∈ C 2 ([0, T ) × Rn ) は (IVP) の解であるとしよう ∗ .C 2 級の関数で (IVP) を各 点の意味でみたすものを古典解(classical solution)とよぶ. ∗ このとき u0 ∈ C 2 (Rn ), u1 ∈ C 1 (Rn ), F ∈ C([0, T ) × Rn ) がしたがう. 奏理音ムイ(Vtuber) 6 / 47

7.

いま,テスト関数 ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) を任意に取り,方程式 Lu = F に掛 けて (0, T ) × Rn で積分すると, ZZ ZZ ψF dtdx = ψLu dtdx (0,T )×Rn (0,T )×Rn ZZ = ψ (0,T )×Rn  n X  g jk ∂j ∂k u + n X j=0 j,k=0   bj ∂j u + au dtdx.  ここで,部分積分により, ZZ ψg 00 ∂02 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx − Z =− Rn Z ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx + ZZ + (0,T )×Rn 奏理音ムイ(Vtuber) ∂0 (ψg 00 )∂0 u dtdx (0,T )×Rn Rn (∂0 (ψg 00 ))(0, x)u0 (x) dx ∂02 (ψg 00 )u dtdx. 7 / 47

8.

同様に, ZZ ψ (0,T )×Rn n X ZZ g ∂j ∂0 u dtdx ZZ n X (0,T )×Rn n X = ZZ ψ (0,T )×Rn j=1 =− Z j0 Rn j=1 n X ! 0k g ∂0 ∂k u dtdx も同じ k=1 ∂j (ψg j0 )∂0 u dtdx j=1 ZZ n X (∂j (ψg j0 ))(0, x)u0 (x) dx + ∂0 ∂j (ψg j0 )u dtdx, (0,T )×Rn j=1 ψb0 ∂0 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)b0 (0, x)u0 (x) dx − 奏理音ムイ(Vtuber) ∂0 (ψb0 )u dtdx. (0,T )×Rn 8 / 47

9.

以上より,作用素 L∗ を L∗ ψ = n X j,k=0 ∂j ∂k (g jk ψ) − n X ∂j (bj ψ) + aψ j=0 と定義すると,等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ (L∗ ψ)u dtdx = (0,T )×Rn Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx   Z  n  X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx  Rn  Rn j=1 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 9 / 47

10.

上で得られた等式は,u の微分可能性がなくても意味をもつ式である.これをも とに,(IVP) の弱解を以下のように定義する. 記号 s ∈ N ∪ {0} に対し,  H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし,微分は超関数の意味の微分とする.この空間を Sobolev 空間とよぶ.特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である.また,負の整数 s に対して, H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める † . また,区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し, C(I; X) := {u : I → X;(X の位相について)連続 }, C 1 (I; X) := {u : I → X;(X の位相について)C 1 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. † Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる. 奏理音ムイ(Vtuber) 10 / 47

11.

Definition 2 s ∈ N ∪ {0} とする.u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ), F ∈ L1 ([0, T ); H s (Rn )) と する.u ∈ C([0, T ); H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ); H s (Rn )) が初期値問題 (IVP) の弱解 (weak solution)であるとは,任意の ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) に対して等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ = (L∗ ψ)u dtdx n (0,T )×R Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx Rn   Z  n  X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx  Rn  j=1 が成立するときをいう . s が負の整数のときも,空間変数の積分を ⟨·, ·⟩H s ,H −s の意味に適宜読み替え,係数にも追加の 滑らかさを仮定すれば同様にして弱解が定義できる. 奏理音ムイ(Vtuber) 11 / 47

12.
[beta]
§3. エネルギー不等式
§3.1 d’Alembertian に対するエネルギー不等式
u′ = ∇u := (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u)
g0 = (g0jk )j,k=0,...,n
□ := ∂02 − ∆ =


1


:= diag(1, −1, . . . , −1) = 








−1
..

.
−1

Pn

jk
j,k=0 g0 ∂j ∂k

Theorem 3
n ≥ 1, T > 0 とする.関数 u = u(t, x) は,u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ,ある
R > 0 が存在して supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする.このとき,
∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn ) +

Z

t

∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds (t ∈ [0, T ])
0

が成立する.特に □u = 0 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) のときは等号で成立する:

∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) = ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn )
奏理音ムイ(Vtuber)

(t ∈ [0, T ]).
12 / 47

13.

証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する: e0 (u) := |u′ |2 = n X |∂k u|2 k=0 = g000 |∂0 u|2 − n X g0jk ∂j u∂k u, j,k=1 (後で一般化する場合に見通しを良くするため,あえてこのようにも書いておく) ej (u) := −2∂0 u∂j u n X =2 g0jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 このとき,次が成立する. (1) ′ 2 2∂0 u□u = ∂0 |u | − 2 n X j=1 奏理音ムイ(Vtuber) ∂j (∂0 u∂j u) = n X ∂j ej (u). j=0 13 / 47

14.

式 (1) の証明:  ∂0 |u′ |2 = ∂0 |∂0 u|2 + n X   |∂j u|2  = 2 ∂02 u∂0 u + j=1 −2 n X ∂j (∂0 u∂j u) = −2 j=1 n X  ∂0 ∂j u∂j u , j=1 n X  ∂j ∂0 u∂j u + ∂0 u∂j2 u . j=1 この右辺どうしの和をとると 2∂0 u□u になる. 奏理音ムイ(Vtuber) 14 / 47

15.

supp u ∈ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} に注意して ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) を t で微分す ると, Z ∂0 ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) = ∂0 |u′ |2 dx n R   Z n X ∂0 |u′ |2 − 2 ∂j (∂0 u∂j u) dx = Rn j=1 (∵ u は空間遠方で 0) Z n X = Rn j=0 ∂j ej (u) dx Z =2 Rn ′ ∂0 u□u dx (∵ 式 (1)) ≤ 2∥u (t, ·)∥L2 (Rn ) ∥□u(t, ·)∥L2 (Rn ) . 下から 2 行目までの等式から,特に □u ≡ 0 なら ∂0 ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) = 0 となり ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) は一定となることが分かる(定理の主張の後半部分). 奏理音ムイ(Vtuber) 15 / 47

16.

一方,左辺は(∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) > 0 である限りは) ∂0 ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) = 2∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ∂0 ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) であるから,これを前の不等式に用いて 2∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ∂0 ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ 2∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ∥□u(t, ·)∥L2 (Rn ) , すなわち ∂0 ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ ∥□u(t, ·)∥L2 (Rn ) . (もしすべての s ∈ [0, t] について ∥u′ (s, ·)∥L2 (Rn ) > 0 ならば)上式で t を s に置 き換えたものを [0, t] 上で積分して, ′ ∥u (t, ·)∥ L2 (Rn ) ′ Z ≤ ∥u (0, ·)∥ L2 (Rn ) t ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds + 0 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 16 / 47

17.

もし ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) > 0 かつ,ある s ∈ [0, t) について ∥u′ (s, ·)∥L2 (Rn ) = 0 とな る場合には,そのような s のうち [0, t) における最大のもの s∗ をとって,[0, t] の 代わりに s ∈ [s∗ , t] で積分すれば ′ ∥u (t, ·)∥ L2 (Rn ) Z ′ ≤ ∥u (s∗ , ·)∥ Z L2 (Rn ) t ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds + s∗ t ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds = s∗ (∵ ∥u′ (s∗ , ·)∥L2 (Rn ) = 0 ) ′ Z ≤ ∥u (0, ·)∥L2 (Rn ) + t ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds 0 となってやはり求める不等式を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 17 / 47

18.

§3.2. 変数係数双曲型作用素に対するエネルギー不等式 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を考える. • g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1) • rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x) とし, n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する. Lemma 4 上の仮定のもとで,L は(t 方向に)正規双曲型となる. 奏理音ムイ(Vtuber) 18 / 47

19.

証明 特性多項式は, p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 = ξ02 ′ 2 − |ξ | + n X rjk (t, x)ξj ξk j,k=0 = (1 + r 00 )ξ02 +2 n X ! 0k r ξk ξ0 − |ξ ′ |2 + k=1 n X rjk ξj ξk . j,k=1 これを ξ0 の 2 次多項式とみて,判別式 D を計算すると,   !2 n n X X D = r0k ξk + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − rjk ξj ξk  . 4 k=1 奏理音ムイ(Vtuber) j,k=1 19 / 47

20.

ここで,仮定 n X |rjk (t, x)| ≤ j,k=0 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) より, 1 ≤ 1 + r00 ≤ 2 2 および |ξ ′ |2 − n X  rjk ξj ξk ≥ |ξ ′ |2 −  j,k=1  |rjk | |ξ ′ |2 j,k=1 ≥ 奏理音ムイ(Vtuber) n X 1 ′2 |ξ | . 2 20 / 47

21.

したがって,|ξ ′ | = 1 のとき, D = 4 n X !2 r0k ξk  + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − k=1 n X  rjk ξj ξk  ≥ j,k=1 1 4 となり,D ≥ 1 を得る.よって特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) は実であり, inf (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 n |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| ≥ inf n (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 D 1 ≥ 00 1+r 2 が成立する.よって作用素 L は(t 方向に)正規双曲型である. 奏理音ムイ(Vtuber) 21 / 47

22.
[beta]
エネルギー不等式
• g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n), L =

n
X

g jk (t, x)∂j ∂k

j,k=0

• (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1)
• rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x),

n
X
j,k=0

|rjk (t, x)| ≤

1
2

((t, x) ∈ [0, T ] × Rn )

Theorem 5
n ≥ 1, T > 0 とし,係数 g jk は上の仮定をみたすとする.関数 u = u(t, x) は,
u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ,ある R > 0 が存在して
supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする.このとき,


Z t
∥Lu(s, ·)∥L2 (Rn ) ds
∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ 2 ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn ) +
0


Z t X
n
× exp 
2
∥∂i g jk (s, ·)∥L∞ (Rn ) ds (t ∈ [0, T ]).
0

奏理音ムイ(Vtuber)

i,j,k=0

22 / 47

23.

証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する: n X e0 (u) := g 00 |∂0 u|2 − g jk ∂j u∂k u j,k=1 = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − n X rjk ∂j u∂k u, j,k=1 ej (u) := 2 n X g jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 また, R0 := (∂0 g 00 )|∂0 u|2 − n X (∂0 g jk )∂j u∂k u, j,k=1 Rj := 2 n X (∂j g jk )∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n) k=1 とおく. 奏理音ムイ(Vtuber) 23 / 47

24.

このとき,次が成立する. (2) 2∂0 uLu = n X ∂j ej (u) − j=0 n X Rj . j=0 (∵) 左辺は 2∂0 uLu = 2∂0 u n X g jk ∂j ∂k u. j,k=0 右辺第 1 項は,g jk =g ∂0 e0 (u) = 2g 00 kj を用いると ∂0 u∂02 u −2 n X g jk ∂j u∂0 ∂k u + R0 , j,k=1 ∂j ej (u) = 2 n X g jk (∂j ∂0 u∂k u + ∂0 u∂j ∂k u) + Rj (j = 1, . . . , n) k=0 となる.これらの和を計算すると式 (2) が成立することがわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 24 / 47

25.

また,e0 (u) について次が成立する. 1 ′2 |u | ≤ e0 (u) ≤ 2|u′ |2 2 n X (∵) e0 (u) = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − rjk ∂j u∂k u だった.ここで (3) j,k=1 r00 |∂0 u|2 ≤ n X rjk ∂j u∂k u ≤ j,k=1 1 |∂0 u|2 , 2 n X j,k=1 |rjk | n X 1X |∂l u|2 . 2 n |∂l u|2 ≤ l=1 l=1 よって, 1 1X 1 e0 (u) ≥ |u | − |∂0 u|2 − |∂j u|2 ≥ |u′ |2 , 2 2 2 n ′ 2 l=1 n 1X 1 e0 (u) ≤ |u′ |2 + |∂0 u|2 + 2 2 奏理音ムイ(Vtuber) |∂j u|2 ≤ 2|u′ |2 . l=1 25 / 47

26.

さらに,R := n X Rj について次が成立する. j=0 n X |R| ≤ 4e0 (u) (4) |∂i g jk |. i,j,k=0 (∵) |R| ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + n X j,k=1 n X j,k=1 n X ≤ 2|u′ |2 |∂0 g jk ||∂j u∂k u| + 2 |∂0 g jk | n X l=1 |∂l u|2 + n X j,k=1 n X |∂j g jk ||∂0 u∂k u| |∂j g jk |(|∂0 u|2 + |∂k u|2 ) j,k=1 |∂i g jk | i,j,k=0 n X ≤ 4e0 (u) |∂i g jk |. i,j,k=0 奏理音ムイ(Vtuber) 26 / 47

27.

以上の準備のもと, Z E(t) := Rn e0 (u)(t, x) dx を評価しよう. Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx Rn Z n X = Rn j=0 式 (2) ∂j ej (u) dx Z = Rn (∵ u は空間遠方で 0) Z 2∂0 uLu dx + R dx Rn ≤ 2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) ∥∂0 u(t)∥L2 (Rn ) + ∥R∥L1 (Rn )   n X 式 (3),(4) √ 1 ∥∂i g jk (t)∥L∞ (Rn )  E(t). ≤ 2 2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) E(t) 2 + 4  i,j,k=0 奏理音ムイ(Vtuber) 27 / 47

28.

よって,(E(t) > 0 である限りは)   1 1 1 ∂0 E(t) 2 = E(t)− 2 ∂0 E(t) 2 ≤ √  2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) + 2  n X  ∥∂i g jk (t)∥L∞ (Rn )  E(t) 2 . 1 i,j,k=0 したがって,   ∂0 E(t) exp −2 1 2 Z t n X  ∥∂i g jk (s)∥L∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 ≤ ≤ √ √  2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) exp −2 Z t n X  ∥∂i g jk (s)∥L∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) . 奏理音ムイ(Vtuber) 28 / 47

29.

よって,(もしすべての s ∈ [0, t] で E(s) > 0 なら)上式を [0, t] で積分して,   √ Z t E(t) ≤ E(0) + 2 ∥Lu(s)∥L2 (Rn ) ds 0   Z t X n × exp  2 ∥∂i g jk (s)∥L∞ (Rn ) ds . 1 2 1 2 0 i,j,k=0 最後に式 (3) を使えば   Z t ∥u′ (t)∥L2 (Rn ) ≤ 2 ∥u′ (0)∥L2 (Rn ) + ∥Lu(s)∥L2 (Rn ) ds 0   Z t X n jk 2 ∥∂i g (s)∥L∞ (Rn ) ds . × exp  0 i,j,k=0 ※ [0, T ] のどこかで E(t) = 0 となる場合の議論については Theorem 3(前回) と同じ. 奏理音ムイ(Vtuber) 29 / 47

30.

§4 Sobolev 空間における弱解の存在と一意性 n ≥ 1, T > 0 とし,2 階線形の双曲型偏微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える.この節では,係数は滑らか: g jk , bj , a ∈ C ∞ ([0, T ] × Rn ) (j, k = 0, . . . , n) かつすべての導関数が有界: ∂ α g jk , ∂ α bj , ∂ α a ∈ L∞ ([0, T ] × Rn ) (α ∈ Zn+1 ≥0 , j, k = 0, . . . , n) であるとする.また,g jk = g kj とする. 奏理音ムイ(Vtuber) 30 / 47

31.

また,前節に引き続き, rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x), について n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 g0 := diag(1, −1, . . . , −1) ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する.Lemma 4 より,このとき L は(t 方向に)正規双曲型となる. さらに,最初から g 00 で全体を割っておくことにして,以下 g 00 ≡ 1 であるとする. 奏理音ムイ(Vtuber) 31 / 47

32.

Sobolev ノルムに関するエネルギー不等式 Theorem 6 s ∈ Z とする.u を u∈ 2 \ C l ([0, T ]; H s+1−l (Rn )) l=0 をみたす関数とし, F := Lu ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) を仮定する.このとき,ある定数 Cs,T > 0 が存在して,任意の t ∈ (0, T ) に対し   Z t X X ∥∂ α u(0, ·)∥H s + ∥F (τ, ·)∥H s dτ  ∥∂ α u(t, ·)∥H s ≤ Cs,T  |α|≤1 |α|≤1 0 が成立する. 奏理音ムイ(Vtuber) 32 / 47

33.
[beta]
証明
Step 1 : s = 0 のとき
まず,次のことを確認する.

Claim 1
Theorem 5 の結論

∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ 2 ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn ) +

× exp 

Z

∥
0

Z

n
X

t

2
0

t

n
X
j,k=0


g jk (t, x)∂j ∂k u(τ, ·)∥L2 (Rn ) dτ 


∥∂i g jk (τ, ·)∥L∞ (Rn ) dτ 

(t ∈ [0, T ]).

i,j,k=0

は,仮定を「u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R}」から

u ∈ C([0, T ]; H 2 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; L2 (Rn ))
に変えてもそのまま成立する.
奏理音ムイ(Vtuber)

33 / 47

34.

Claim 1 の証明 Theorem 5 の証明の中で問題になるのは Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx, Rn Z ∂j ej (u) dx = 0 (j = 1, . . . , n) Rn の成立だけだが,u の仮定と e0 (u) := |∂0 u|2 −  n X Pn j,k=1 g jk ∂j u∂k u から  d  (∂0 u, ∂0 u)L2 − (g jk ∂j u, ∂k u)L2  dt j,k=1   n n X X (∂0 g jk ∂j u, ∂k u)L2 (g jk ∂j u, ∂0 ∂k u)L2  − = 2 (∂0 u, ∂02 u)L2 − ∂0 E(t) = j,k=1 Z = Rn j,k=1 ∂0 e0 (u) dx. よって一つ目の等式が成立. 奏理音ムイ(Vtuber) 34 / 47

35.

次に二つ目の等式を示す.ej (u) の定義 ej (u) := 2 そう. Pn k=0 g jk ∂0 u∂k u を思い出 t ∈ [0, T ] を任意にとり固定する.埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H s (Rn ) の稠密性から, ∞ ∞ n 点列 {φm }∞ m=1 , {ψl }l=1 ⊂ C0 (R ) で φm → ∂k u(t) (m → ∞), ψl → ∂0 u(t) (l → ∞) in H 1 (Rn ) となるものが存在する.これより, Z ∂j (g jk (t, x)∂0 u(t, x)∂k u(t, x)) dx = Rn Z lim l,m→∞ Rn ∂j (g jk (t, x)ψl (x)φm (x)) dx =0 となるので, Z Rn ∂j ej (u) dx = 0 が成立することがわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 35 / 47

36.

次に,軟化子を用いて次のようにさらに仮定を弱めることができる. Claim 2 Theorem 5 の結論は仮定をさらに u ∈ C([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; H −1 (Rn )), n X G := g jk ∂j ∂k u ∈ L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) j,k=1 に変えてもそのまま成立する. Claim 2 の証明 ρ ∈ C0∞ (Rn ), ρ ≥ 0, Z ρ(x) dx = 1 をみたす関数 ρ をとる. Rn −n ε > 0 に対し ρε (x) := ε ρ(x/ε) とおく. (∥ρε ∥L1 = ∥ρ∥L1 に注意する. ) 奏理音ムイ(Vtuber) 36 / 47

37.

n X g jk (t, x)∂j ∂k u(t, x) = G(t, x) j,k=1 の両辺と ρε との空間変数についてのたたみこみをとる. Z uε (t, x) := (ρε ∗ u(t, ·))(x) = ρε (x − y)u(t, y) dy Rn とおくと, ρε ∗ (g jk ∂j ∂k u) = g jk ∂j ∂k (ρε ∗ u) − [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u. ただし [A, B] は交換子 [A, B] = AB − BA を表す.さらに Gε := ρε ∗ G とお くと, n n X X g jk ∂j ∂k uε = Gε + [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u j,k=1 j,k=1 | {z } =:Rε u 奏理音ムイ(Vtuber) 37 / 47

38.

uε ∈ T2 l=0 C l ([0, T ]; H 2−l (Rn )) より,Claim 1 を適用することができて,   Z t ∥u′ε (t)∥L2 ≤ 2 ∥u′ε (0)∥L2 + (∥Gε (τ )∥L2 + ∥Rε u(τ )∥L2 ) dτ 0   Z t X n × exp 2 ∥∂i g jk (τ )∥L∞ dτ  . 0 i,j,k=0 この式で ε → 0 の極限移行を行う.まず軟化子の性質から ε → 0 のとき u′ε (t) → u′ (t), Gε → G u′ε (0) → u′ (0), in L2 (Rn ), in L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) がわかる ‡ . ‡ 一般に f ∈ L2 (Rn ) に対し ∥ρ ∗ f ∥ ε L2 ≤ ∥f ∥L2 と limε→0 ∥ρε ∗ f − f ∥L2 = 0 が成立するこ と([Racke, Lemma 4.2] 等を参照)および Lebesgue の収束定理からわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 38 / 47

39.

最後に Rε u を含む項については,次の補題と Lebesgue の収束定理を適用すれば Z ε→0 t ∥Rε u(τ )∥L2 dτ = 0 lim 0 となることがしたがう. Lemma 7 f ∈ H 1 (Rn ) に対し, (i) f に依らないある定数 C(g jk , ρ) > 0 が存在して, ∥[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f ∥L2 ≤ C(g jk , ρ)∥f ∥H 1 . (ii) limε→0 ∥[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f ∥L2 = 0. Lemma 7 の証明 埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H 1 (Rn ) の稠密性から,f ∈ C0∞ (Rn ) として (i), (ii) を示せ ば十分である. 奏理音ムイ(Vtuber) 39 / 47

40.

(i) を示す. [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) = ρε ∗ (g jk ∂j ∂k f ) − g jk (ρε ∗ ∂j ∂k f ) Z  =− ρε (x − y) g jk (t, x) − g jk (t, y) ∂j ∂k f (y) dy n Z R  = ∂yj ρε (x − y)(g jk (t, x) − g jk (t, y)) ∂k f (y) dy n R Z =− ∂j g jk (t, y)ρε (x − y)∂k f (y) dy n ZR  jk − g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy Rn =: I + II. ここで,たたみこみに関する Young の不等式より, ∥I∥L2 ≤ C∥∂j g jk ∥L∞ ∥ρε ∥L1 ∥∂k f ∥L2 ≤ C∥f ∥H 1 . 奏理音ムイ(Vtuber) 40 / 47

41.

次に, Z II = −  Rn g jk (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy について, |g jk (t, x) − g jk (t, y)| ≤ ∥∇x g jk ∥L∞ |x − y| t,x および |y|(∂j ρε )(y) = ε−1 |y| · ε−n (∂j ρ) y ε ∈ L1 (Rn ) より ∥II∥L2 ≤ C∥∇x g jk ∥L∞ ∥|y|ρ∥L1 ∥∂k f ∥L2 ≤ C∥f ∥H 1 . t,x これで (i) が示された. 奏理音ムイ(Vtuber) 41 / 47

42.

(ii) を示す. Z Rn  ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) dy = 0 より, [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) Z  = ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) · (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z =− (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z − (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn =: III + IV. 奏理音ムイ(Vtuber) 42 / 47

43.

Z III = − Rn (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について,Hölder の不等式より, Z 1 |III(x)|2 ≤ ∥∂j g jk ∥2L∞ ∥ρ ∥ ρε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy ε L t,x |x−y|<ε Z ≤C ρε (y)|∂k f (x − y) − ∂k f (x)|2 dy. |y|<ε これより, Z ∥III∥2L2 ≤C |y|<ε ρε (y)∥∂k f (· − y) − ∂k f (·)∥2L2 dy ここで f ∈ C0∞ より,任意の δ > 0 に対し,ε が十分小ならば sup ∥∂k f (· − y) − ∂k f (·)∥2L2 ≤ δ |y|<ε とでき, 2 ∥III∥L 2 ≤ C∥ρ∥L1 δ. 奏理音ムイ(Vtuber) 43 / 47

44.

次に Z IV = − Rn (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について,II と同様に考えて,ρ̃ε (y) = |y|(∂j ρε )(y) と書くと, Z 1 |IV (x)|2 ≤ C∥∇x g jk ∥2L∞ ∥ρ̃ ∥ ρ̃ε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy. ε L t,x |x−y|<ε あとは III と全く同様の議論で,任意の δ > 0 に対して ε が十分小のとき ∥IV ∥2L2 ≤ Cδ とできる. 奏理音ムイ(Vtuber) 44 / 47

45.

記号表 • t ∈ R:時間変数 • x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn :空間変数 • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • u′ = ∇u = (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u) • □ = ∂t2 − ∆:d’ALembertian • g0 = (g0jk )j,k=0,...,n = diag(1, −1, . . . , −1) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn ):実数値,g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • u = u(t, x):未知関数 • F (t, x):外力(given),実数値 • u0 (x), u1 (x):初期値(given),実数値 奏理音ムイ(Vtuber) 45 / 47

46.

記号表 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対して, n X • L0 = g jk (t, x)∂j ∂k :主要部 j,k=0 • p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk (ξ0 ∈ R, ξ ′ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn ):特性 j,k=0 多項式 • λ± (t, x, ξ ′ ):特性根 n n X X • L∗ ψ = ∂j ∂k (g jk ψ) − ∂j (bj ψ) + aψ :L の共役作用素 j,k=0 奏理音ムイ(Vtuber) j=0 46 / 47

47.

記号表 s ∈ N ∪ {0} に対し,  H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし,微分は超関数の意味の微分とする.この空間を Sobolev 空間とよぶ.特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である.また,負の整数 s に対して, H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める § . また,区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し, C(I; X) := {u : I → X;(X の位相について)連続 }, C k (I; X) := {u : I → X;(X の位相について)C k 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. § Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる. 奏理音ムイ(Vtuber) 47 / 47