機械回路の記号解析 その７

2026.2.11 機械回路の記号解析 その7 ---モータモデルと特性計測-part3 (分巻式) --- 下 条 誠 電気通信大学名誉教授 機械系のためのメカトロニクス time The University of Electro-Communications 電気ブレーキ time Department of Mechanical Engineering and Intelligent System 回生制動

内 DC motorの復習 I. 電磁石型DCモータ II. 電気回路モデル a. 直流モータの基本式 a. モータの電気回路と基礎式 b. 電気回路モデルへの変換 c. DC-モータ＋慣性負荷モデル 1. 電磁石界磁型DCモータ（序論） 1.1 電磁石型DCモータの種類 1.2 DCモータの種類別パラメータ例 2. 分巻DCモータ(DC shunt motor) 2.1 電気回路モデル 2.2 ω‐τ特性方程式 2.3モータ特性のシミュレーション 2.4 分巻式 DC モータ 特性 3. 電源電圧と界磁抵抗の影響 3.1 電源電圧vaを変える 3.2 励磁回路抵抗Rfを変える 4.界磁制御 4.1界磁制御の方法 4.2 界磁制御シミュレーション 4.3 界磁制御まとめ 容 2 5.分巻DCモータの暴走 5.1 分巻DCモータの暴走例 5.2 暴走理由 5.3 暴走理由結論 6.電気ブレーキ 6.1 電気ブレーキの基礎式 6.2 シミュレーション 6.3 坂道brakingシミュレーション 6.4 電気ブレーキまとめ 7. 回生制動 7.1 回生制動の基礎式 7.2シミュレーション --------付録-------A.1分巻DCモータの回生制動(励磁独立） つづく 補足：中田孝氏について、私の卒論修論 参考文献

はじめに 3 機械の振動系と電気回路が同じように取り扱えると、知ったのは中田孝氏の書籍「工学 解析」でした。同書は、Lagrange運動方程式、Fourie解析、変分法、テンソル解析な ど物理学者の数学的道具を機械工学を学ぶ学生に分かり易く解説したものです。その中 に機械回路の記号解析がありました。これがアナロジーというものに関心を持った始め でした。 機械系と電気系のアナロジーについて学ぶに従い、「物理量の捉え方」の一つとして流 通量と位差量があること、これにより機械と電気系の物理変数の対応関係ができること、 さらに流体系、熱回路、音響工学など広い分野の物理現象の解析にアナロジーの考え方 が使えることに興味を覚えたものです。また双対性の概念は、各種物理現象への新たな 視点を得るきっかけとなりました。 さて、機械系メカトロニクス講義の続きとして新たに機械回路をはじめます。今回は機 械ー電気混成系であるDCモータです。電気回路モデルに変換してモータ特性をLTspice で再現します。本編は分巻式です。他励式(part2)と内容は近いですが、分巻式に特有 な界磁制御や暴走について少し詳しく踏み込んでみました。例示は実際のモータ値を用 いています。またプログラムはGithubで公開していますので、関心のある方は様々なパ ラメータを変更してその特性の変化を自身で確かめてみることをお勧めします。 https://github.com/m4881shimojo/DCmotor 参考文献 中田孝:工学解析(技術者のための数学手法),オーム社,1972.

• https://github.com/m4881shimojo/DCmotor

復習 DC motorの復習 DC-motorの基本構造、基本数式、基本特性は既に解説しました。 この章では、簡単な復習を行います。スキップしてもかまいません。 I. 電磁石型DCモータ a. 磁束Φが基本 b. 永久磁石と電磁石 c. 電磁石界磁型DCモータ II. 電気回路モデル a. 電気回路analogy b. 機械ー電気系量の対応 III. 直流モータの特性 メカトロニクス 「アクチュエータpart1 直流モータ」 https://www.docswell.com/s/m_shimojo/KNGDLZ-2022-04-16-144507 4

• https://www.docswell.com/s/m_shimojo/KNGDLZ-2022-04-16-144507

直流（DC)モータの基本式 I. 電磁石型DCモータ Φ ∝ 𝑖𝑓 磁束Φを基にした式 𝑣𝑓 （１）モータの働き if 𝜏 = 𝐾𝑡 Φ 𝑖𝑎 ⋯ (1′) 界磁コイル （２）発電機の働き 𝜱 𝐸𝑐 = 𝐾𝑒 Φ𝜔 ⋯ (2′) N S 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2′ 𝑎) （３）電機子回路 if 𝑅𝑓 𝐿𝑎 𝜏 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1′𝑎) 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 ⋯ (3) 𝑣𝑓 𝑖𝑓 = ⋯ (4) 𝑅𝑓 𝐾𝑇 = 𝐾𝑡 Φ 𝐾𝑡 Φ = 𝐾𝑒 Φ = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝐾𝐸 = 𝐾𝑒 Φ （Kt, Keは同じ値） ⚫ 磁束Φは界磁電流if に比例するとしている。 𝑣𝑎 𝐿𝑓 𝐸𝑐 Φ ⚫ Kbは表１での相互インダクタンスLaf に対応する （少し詳しくは機械回路の記号解析 その6で述べている） 5

a. モータの電気回路と基礎式 II. 電気回路モデル 6 永久磁石型の式 永 久 𝑉 磁 石 型 𝑅𝑎 𝑖𝑎 𝐿𝑎 𝐸𝑐 emf τ 𝐽 ω （１）発生トルク 𝜏 = 𝐾𝑇 𝑖𝑎 …(1) （２）逆起電力 𝐸𝑐 = 𝐾𝐸 𝜔 …(2) （３）電気回路 𝑉 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 …(3) 𝐵𝑜 : 粘性係数 Laの影響は少ないので省略 力ー電流analogy 機械系部分 電気系部分 電圧 → 回転速度 𝑈𝑐 ⟺ 𝜔 電流 → トルクτ 𝐾𝑇 𝑖𝑎 ⟺ 𝜏 𝜔 等 価 回 路 𝑅𝑎 𝑉 𝐿𝑎 𝑖𝑎 + 𝐽[𝑘𝑔𝑚2 ] → 𝐶𝐽 [𝐹] 𝜏 𝑬𝒄 𝐾𝐸 𝑈𝑐 𝐾𝑇 𝑖𝑎 − 𝐾𝑇 𝑖𝑎 𝑈𝑐 𝐶𝐽 𝑅𝑜 𝐵𝑜 [𝑁 ∙ 𝑠Τ𝑚] → 𝑅𝑜−1 [Ω−1 ] (𝐾𝐸 = 𝐾𝑇 )

b. 電気回路モデルへの変換 II. 電気回路モデル 𝜔 symbol unit J [kg･m2] 𝑈𝑐 symbol unit ⟺ C [F] [H-1] 回転体系の電気回路analogy 𝐽𝐿 𝑘𝑔𝑚2 𝐶𝐿 [𝐹] 𝑅𝐿−1 [Ω−1 ] 𝜏 𝐾𝑇 𝑖𝑎 K [N･m/rad] ⟺ L-1 𝐵𝑜 𝑅𝑜−1 B [𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ] ⟺ R-1 [Ω-1] 𝐵𝐿 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Τ [N･m] ⟺ I [A] 𝐾𝑠 𝑁𝑚Τ𝑟𝑎𝑑 ω [Rad/s] ⟺ E [V] J 𝐶𝐽 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝑉 emf 𝐸𝑐 τ 𝐾𝑠 𝐽𝐿 𝐽 ω 𝐵a 𝐵𝐿 モータ 7 𝜃𝐿 𝑡 𝜔𝐿 𝑡 等価電気回路 −1 𝐿−1 𝑠 [𝐻 ]

II. 電気回路モデル 8 c. DC-モータ＋慣性負荷モデル 機械系物理量は電気回路から求められます 𝜔 𝑈𝑐 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝑉 𝑖𝑎 + 𝑖𝑆 𝐿𝑠 𝐾𝑇 𝑖𝑎 𝑖𝑐 𝑖𝑅 𝝉 𝑬𝒄 𝐾𝐸 𝑈𝑐 𝜔𝐿 𝑈𝐿 − 𝐾𝑇 𝑖𝑎 𝑈𝐿 𝐶𝐽 𝐶L 𝑅𝐿 慣性負荷を駆動するDC モータの等価モデル Ro：省略 ⚫ 機械系部分の物理量は電気回路analogyによって、電圧と電流で表現されます。 ⚫ 当然、機械系での電流、電圧の意味する内容は異なります！！！！ 力ー電流analogy回路での機械ー電気系量の対応 𝑉 ：入力電圧 𝑖𝑎 ：電機子電流 𝐾𝐸 𝑈𝑐 ：逆起電力(emf) 𝐾𝑇 𝑖𝑎 ：発生トルク 𝑖𝑆 ：シャフトの捩じりトルク 𝑖𝑐 ：慣性体回転トルク 𝑖𝑅 ：粘性抵抗トルク 𝑈𝑐 ：モータ回転速度 𝑈𝐿 ：慣性体回転速度 機械 ⟺ 電気 𝜔 ⟺ 𝑈𝑐 ωL ⟺ 𝑈L τ ⟺ 𝐾𝑇 𝑖𝑎 J𝐿 ⟺ 𝐶𝐿 𝐾𝑠 ⟺ 𝐿−1 𝑠 𝐵L ⟺ 𝑅𝐿−1 負荷（例） ✓ BL：粘性抵抗 0.00001 [Nm/(rad/s)] 𝑅𝐿 : 1.0 × 105 Ω ✓ Ks：ねじれ剛性20 [Nm/rad ] 𝐿𝑠 : 0.05 𝐻 ✓ JL：慣性モーメント 0.001 [kg m2 ] 𝐶𝐿 : 1.0 × 10−3 𝐹

1. 電磁石界磁型DCモータ（序論） 機械ー電気AnalogyでのDC-モータのモデル化を行います 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 if 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 Φ 今回は、分巻DCモータに ついてです 1. 永久磁石型・・ part1で解説済 2. 他励方式（Separately Excited） 3. 分巻（shunt巻線）方式 今回のテーマ 4. 直巻（series巻線）方式 5. 複巻（compound巻線）方式 9

1.1 電磁石型DCモータの種類 10 電機子巻線と界磁巻線の接続方法により分類 if 𝑣𝑎 𝑖𝑎 𝑣𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝐿𝑎 𝑅𝑓 𝑣𝑎 Φ 𝐿𝑓 𝐿𝑓 if 𝑖𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝐿𝑎 Φ 𝑣𝑎 𝑖𝑎 if 𝐿𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 𝑅𝑎 Φ （４a）複巻型（compound） （外分巻） 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝑣𝑎 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝑣𝑎 （１）他励型（Separately Excited） （２）分巻型（shunt） 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝐿𝑓 Φ （３）直巻（series） 𝑖𝑎 if 𝑅𝑎 𝐿𝑎 Φ （４b）複巻型（compound） （内分巻）

1.2 DCモータの種類別パラメータ例（表1 ） 表１．DCモータの種類別パラメータ例 1.Separately Excited 2. Shunt 3. Series Armature voltage (Va) 170 V -- -- Field voltage (Vf) 210 V -- -- Line voltage (VL) -- 170 V 230 V Nominal armature current 12.4 A 17 A 12.5 A Nominal field current 1.1 A 0.9 A 12.5 A Nominal velocity 1000 rpm 1100 rpm 2000 rpm Nominal electric torque 15.5 Nm 17.8N m 10.7Nm Armature inductance (La) 17.8 mH 17.8 mH 0.12 mH Field inductance (Lf) 1 uH 10 H 30 mH Mutual inductance (Laf) 1.136 H 1.1634 H 68.5 mH Armature resistance (Ra) 3.1533 Ω 2.9051 Ω 3.3576 Ω Field resistance (Rf) 190.909 Ω 188.889 Ω 0.7 Ω Inertia (J) 0.0142 kg m2 0.0142 kg m2 0.015 kg m2 Arévalo, E.; Herrera Hernández, R.; Katselis, D.; Reusser, C.; Carvajal, R. On Modelling and State Estimation of DC Motors. Actuators 2025, 14, 160. https://doi.org/10.3390/act14040160 11

• https://doi.org/10.3390/act14040160

本 編 12

２．分巻DCモータ(DC shunt motor) 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 𝑖𝑎 if 𝑅𝑎 𝐿𝑎 Φ （２）分巻型 表１ 定格電機子電流:17 A 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω （実際の分巻モータ例） 分巻DCモータ の始まり 13

２．分巻式(DC shunt motor) 14 if (shunt-wound DC motor) α：比例定数 Φ = 𝛼𝑖𝑓 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 Φ Φ 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 if ia ia if 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 Φ if （１）モータの働き （２）発電機の働き 𝑇 = 𝐾𝑡 Φ 𝑖𝑎 ⋯ (1′) 𝐸𝑐 = 𝐾𝑒 Φ𝜔 ⋯ (2′) 𝑇 = 𝐾𝑡 𝛼𝑖𝑓 𝑖𝑎 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1𝑎′) 𝐸𝑐 = 𝐾𝑒 𝛼𝑖𝑓 𝜔 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2′ 𝑏) 𝐾𝑡 𝛼 = 𝐾𝑒 𝛼 = 𝐾𝑏 とした

2.1 電気回路モデル（一定負荷モデル） ⚫ 電気系回路方程式 界 磁 巻 線 𝑅𝑓 𝑣𝑎 ia if 𝑅𝑎 𝑑𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝑓 𝑣𝑎 = 𝑅𝑓 𝑖𝑓 𝑡 + 𝐿𝑓 𝑑𝑡 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 𝑡 + 𝐿𝑎 電 機 子 𝐿𝑎 𝑇𝑚 𝐿𝑓 𝐸𝑐 𝐽 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 𝑇𝑙 ⚫ 機械系回路方程式 𝑑𝜔𝑚 𝑇𝑚 = 𝐽 + 𝐵𝑎 𝜔𝑚 + 𝑇𝑙 𝑑𝑡 𝑇𝑚 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 𝜔𝑚 𝐵𝑎 : 粘性係数 𝑅𝑓 ia if 𝑣𝑎 𝐿𝑎 𝐿𝑓 ω 𝑅𝑎 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 E𝒄 𝜏 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 電気系 𝑈𝑐 𝑈𝑐 𝐶𝐽 𝑅𝑜 𝑇𝑙 機械系の電気回路analogy 一定負荷モデル です。 Tlは定トルク負荷 とします 𝑅𝑜 = 𝐵𝑎−1 15

2.1 電気回路モデル（慣性負荷モデル） 16 分巻DC-モータ＋慣性負荷モデル 界 磁 巻 線 𝑅𝑓 if 𝑣𝑎 ia 𝑅𝑎 電 機 子 𝐿𝑎 𝐿𝑓 𝐸𝑐 慣性負荷モデル です τ 𝐾𝑠 𝐽𝐿 𝐽 ω 𝐵𝐿 : 粘性係数 𝐵𝑎 𝑅𝑓 ia if 𝑣𝑎 𝐿𝑓 E𝒄 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 電気系 ω 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝜃𝐿 𝑡 𝜔𝐿 𝑡 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 電気 𝜔 ⟺ 𝑈𝑐 ωL ⟺ 𝑈L τ ⟺ 𝐾𝑇 𝑖𝑎 J𝐿 ⟺ 𝐶𝐿 𝐾𝑠 ⟺ 𝐿−1 𝑠 𝐵L ⟺ 𝑅𝐿−1 𝐽𝐿 [𝑘𝑔𝑚2 ] → 𝐶𝐿 [𝐹] 𝐿𝑠 𝑈𝐿 𝐶𝐽 ⟺ 𝜔𝐿 𝜏 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 機械 𝑅𝑜 𝐶𝐿 𝑅𝐿 機械系の電気回路analogy 𝐵𝐿 [𝑁𝑚 ∕ (𝑟𝑎𝑑/𝑠)] → 𝑅𝐿−1 [Ω−1 ] −1 𝐾𝑠 [𝑁 ∙ 𝑚Τ𝑟𝑎𝑑] → 𝐿−1 𝑠 [𝐻 ]

2.2 ω‐τ特性方程式 17 τ-ω特性は？ トルクと回転速度 特性(τ-ω)は、どう 磁束Φは電源電圧 なるの？ で変わるので、 どうなるかな？ 𝜔 V 𝐾 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝜔= 𝑉 𝑅𝑎 − 𝜏 𝐾 𝐾2 𝐾 𝑉 𝑅𝑎 0 永久磁石型DC-モータ：ω‐τ 特性 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 if 𝑖𝑎 Φ 𝜏 分巻DCモータ 𝑅𝑎 𝐿𝑎

2.2 ω‐τ特性方程式 18 分巻DCモータの τ-ω 特性を求めてみます ⚫ モータと発電機の特性は次式となります 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 if 𝑖𝑎 𝑅𝑎 （１）モータの働き 𝑇 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1′ 𝑎) 𝐿𝑎 （２）発電機の働き 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2′ 𝑎) Φ 𝐸𝑐 ⚫ モータに電圧を加えた時の回路方程式は次式となります （３）回路方程式 参考 インダクタンスが計算で省略される理由 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 ⋯ (3) 𝑖𝑓 = 𝑣𝑎 ⋯ (4) 𝑅𝑓 1. 定常状態での解析を行うため、電流の変化率はゼロ になります 2. モータの応答には、電気系と機械系の2つの応答があ ります。機械系の挙動に比べて、電気系の過渡現象 は瞬間的に終わってしまうため、回路を抵抗のみで 表現します 3. ただし、過渡応答解析などでは省略できない場合が あります 界磁電流ifがあるけど 基本式は永久磁石型と 同じだね。 定常状態での値

2.2 ω‐τ特性方程式 𝜔 𝑅𝑓 𝐾𝑏 基礎式からτ-ω 特性の導出 分巻DCモータ 1. (3’a)式に(1’a),(2’a)を代入 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 = 𝑅𝑎 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 ω‐τ 特性 V 𝐾 𝑇 + 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 𝐾𝑏 𝑖𝑓 2. これをωについてとくと 𝑣𝑎 𝑅𝑎 𝜔= − 2𝑇 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝐾 𝑖 𝑏 𝑓 3. (3’b)を用いて次の式になる 永久磁石DCモータ 𝜔= 𝑉 𝑅𝑎 − 𝜏 𝐾 𝐾2 𝐾 𝑉 𝑅𝑎 0 𝜏 参考 𝜔 19 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 Y軸切片の値、電源電 圧に無関係となる！ 𝜏 永久磁石型と違う！

2.3 モータ特性のシミュレーション 等価回路のシミュレーションから次の特性値を求めます ⚫ 負荷トルクが加わった時の、回転速度、出力、電機子電流の変化 負荷トルクを加え ていったときに、 回転数ω、電機子 電流ia、Powerが どう変化するか の特性図ね 20

2.3 モータ特性のシミュレーション 分巻式 DC-モータ＋負荷トルクモデル 21 モータ特性をシミュレー ションで求めます 定格電機子電流:17 A 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω 負荷トルクを 変化させ計測 します 負荷トルク 計測コマンド shunt2025.asc 立上りから十分時間をとって 平衡点での値を計測します 測定した値はexcelで表にしました

2.3 モータ特性のシミュレーション 22 応答特性 負荷トルクTLをパラメータ として実行 ① 回転速度Uc ② 電機子電流L2 次の値を計測 ① 回転速度Uc ② 電機子電流L2 ③ 発生トルクB2 ④ 界磁電流L1 ③ 発生トルクB2 複数の線は、負荷トルク の違いによるものです 計測タイミング 500ms 立上りから十分 時間をとって平 衡点での値を計 測します ④ 界磁電流L1

2.4 分巻式 DC モータ 特性 電気回路モデルのシミュレーションによるモータ特性 250 230 ω 210 power Tm Ia 190 170 ω 回転速度[rad/s] 定格トルク:17.8N m 80 定格回転速度:1100 rpm ia Power 130 50 定格回転数 110 40 90 30 70 50 20 定格電流 -50 -70 -90 -110 𝑅𝑓 = 162.4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝐾𝑏 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 = 61.27 𝑁𝑚 𝑅𝑎 𝑅𝑓 61.27 𝑁𝑚 0 10 20 定格トルク -30 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω 10 10 -10 0 (115.1rad/s) 60 30 -10 定格界磁電流:0.9 A 90 70 150 -20 定格電機子電流:17 A 100 電機子電流 [A] 162.4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 23 30 40 50 60 負荷トルク [Nm] 70 80 -10 -20 -30 発生トルクTm：第2軸単位をNm -130 計測値(shunt2025.asc)からexcelでグラフを作成 -40 -50 定格トルク のとき 定格電流 定格回転 となる

2.4 分巻式 DC モータ 特性 定格トルクだと、 定格回転数になり、 定格電流となるのね。 x軸、y軸の切片の値も 理論値と同じだ 次からは、 電圧vaと抵抗Rfを 変化させます ✓ Excelでは3軸以上の軸表示ができないため、 powerの数値は非表示です。傾向だけ見て ください ✓ またグラフは、第1軸、2軸の値範囲よって 変化します。図ではωとiaの交点でpower が最大となっていますが、これはそのよう に第1軸、2軸の値範囲を選んだためです 24

3.電源電圧と界磁抵抗の影響 分巻式 DC モータで変更可能な電源電圧と界磁抵抗の 影響を確かめる 𝑣𝑎 , 𝑅𝑓 𝜔 𝑅𝑓 𝐾𝑏 分巻DCモータ 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 ω‐τ 特性 𝜏 このパラメータを 変えると特性はど うなるのかな 25

3.1 電源電圧vaを変える 𝜔 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 va を変化 𝑅𝑓 𝐾𝑏 Y軸切片は不変で、 X軸切片が変化する。 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 そしてvaが小さくなると、 X軸切片が低くなり、傾 𝜏 電源電圧vaを低下すると ✓ 無負荷トルクの回転数は変化しない ✓ 直線の傾きは大きくなる きも大きくなるね 電源電圧で無負荷 回転数が変わらな いのは面白い 26

3.1 電源電圧vaを変える（ω‐τ 相面） 27 va をパラメータ 𝜔 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝐵𝐿 = 0.001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐽𝐿 = 0.1 𝑘𝑔𝑚 162.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 170V 𝑣𝑎 𝑣𝑎 = 250𝑉 𝑣𝑎 = 170𝑉 𝑣𝑎 = 100𝑉 x切片 𝑁𝑚 50 162.4549 5.300282 100 162.4549 21.20113 170 162.4549 61.27127 250 162.4549 132.5071 Shunt2025_va-Kansei.asc 𝑣𝑎 = 50𝑉 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 21.2[𝑁𝑚] y切片 𝑟𝑎𝑑/𝑠 理論通りだ。 電圧によって 違うモータみ たいだ 0.2𝑠 5.30[𝑁𝑚] 𝑣𝑎 𝑉 61.3[𝑁𝑚] 𝜏

3.1 電源電圧vaを変える（時間軸） 28 時間軸表示 va をパラメータ 𝑣𝑎 = 250𝑉 𝑣𝑎 = 170𝑉 これが時間軸での 表現。ω‐τ特性で の軌跡は、この変 化部分なのね 𝑣𝑎 = 100𝑉 𝑣𝑎 = 50𝑉 𝜔 𝐵𝐿 = 0.001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐽𝐿 = 0.1 𝑘𝑔𝑚2 𝑣𝑎 = 250𝑉 ω‐τ特性線に達 すると、それに 沿って変化する ことか 170V 最終的には平衡点、 ω‐τ 特性線の一点になります。 𝑣𝑎 𝑣𝑎 = 170𝑉 0.2𝑠 𝜏 ω‐τ表示では50秒までシ ミュレートしています

3.1 電源電圧vaを変える（va 20%低下） 電源電圧vaを低下させた時のモータ特性 ω 電源電圧を20%低下 170V-->140V 100 250 230 ω 210 power Tm ia Ia 𝑅𝑓 = 162.4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝐾𝑏 90 80 190 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 = 41.55 𝑁𝑚 𝑅𝑎 𝑅𝑓 70 170 回転速度[rad/s] 130 50 110 40 90 70 Power 30 va:170[V] 50 10 -10 -10 0 -30 10 20 30 40 50 60 70 10 電源電圧を低下すると 0 ✓ 無負荷トルクの回転速度 80 -10 負荷トルク [Nm] va:140[V] -50 -70 発生トルクTm：第2軸単位をNm -130 計測値(shunt2025.asc)からexcelでグラフを作成 （勿論パラメータ値は変える） は変化しない -20 ✓ 直線の傾きは大きくなる -30 ✓ 励磁電流減少→磁束減少 -40 ✓ 負荷トルクと釣合うため、 -50 電機子電流 ia は増加する -90 -110 X,Y軸の切片値 OK 理論値と同じ 20 30 -20 電機子電流 [A] 60 150 29

3.2 励磁抵抗Rf を変える 30 界磁抵抗 Rf を変え ると、モータ特性は どう変わるの？ Rf の制限とか あるのかしら？ 𝜔 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 𝜏 分巻モータでの重要 な点だな。 Rf で磁束Φが変わる からな～？ 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 界磁抵抗Rf で 磁界Φは変わる 𝑣𝑎 𝑣𝑎 Φ ∝ 𝑖𝑓 = 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝐿𝑓 if Φ 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎

3.2 励磁抵抗Rf を変える ω‐τ 特性: Rf を変化 𝜔 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝑅𝑓 𝐾𝑏 Y軸切片の値、Rf が低下すると小さ くなる。 X軸切片 はその逆だね。 0 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝜏 励磁回路抵抗Rfを低下すると ✓ 無負荷トルクの回転数は低下する ✓ 直線の傾きは小さくなる そしてRfが小さくなる と傾きも小さくなる 永久磁石型と 比べてだいぶ 違うね 31

3.2 励磁抵抗Rf を変える 32 Rf を大きくすると磁束Φが減少します。 式で示すと Φ ∝ 𝑖𝑓 = 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝑇 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1′ 𝑎) ′ 𝑣𝑎 𝑣𝑎 𝑣𝑎 − 𝐸𝑐 𝑖𝑎 = 𝐾𝑏 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑇 = 𝐾𝑏 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2 𝑎) 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑉𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 ⋯ (3′) 𝑖𝑎 = Rf が大きくなるとif は 小さくなるね 𝑣𝑎 𝜔 𝑅𝑓 𝑣𝑎 − 𝐸𝑐 𝑅𝑎 また(2’a)式より、 逆起電力Ecが小さ くなり、iaが増大 する。 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑖𝑎 + 𝑖𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑓 𝜏 if 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 Φ 𝐸𝑐

3.2 励磁抵抗Rf を変える(電気回路モデル) 分巻式 DC-モータ＋慣性負荷モデル 33 界磁抵抗Rf をパラメータに して実行 定格電機子電流:17 A 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω 等価電気回路モデ ルで特性を確かめ てみましょう 作図はこちらを使用 実は粘弾性抵抗BLで 変わります （モータモデルパラメータは表1） 計測コマンド Shunt2025_Rf-Kansei-v2.asc

3.2 励磁抵抗Rf を変える（ω‐τ 相面） 𝜔 𝑅𝑓 𝐾𝑏 ω‐τ 相面 34 𝑅𝑓 Ω y切片 𝑟𝑎𝑑/𝑠 x切片 𝑁𝑚 100 85.95496 115.7353 𝐵𝐿 = 0.00001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 189 162.4549 61.2356 2 300 257.8649 38.57843 500 429.7748 23.14706 800 687.6397 14.46691 1000 859.5496 11.57353 𝐽𝐿 = 0.1 𝑘𝑔𝑚 170V 𝑹𝒇 = 𝟏𝟖𝟗𝜴 ：設定値 𝑣𝑎 𝑅𝑓 = 1𝑘Ω 回転速度[rad/s] 0.1𝑠 Rf を変化させて ω‐τ表示してみた 𝑅𝑓 = 800Ω 予想通りの結果 𝑅𝑓 = 500Ω だ。けれどω‐τ 表示では、平衡 𝑅𝑓 = 300Ω 𝑹𝒇 = 𝟏𝟖𝟗𝜴 トルク [Nm] 𝑅𝑓 = 100Ω 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝜏 点に至る時間経 過を示している のだよね 次は時間軸表示です

3.2 励磁抵抗Rf を変える（時間軸） 35 時間軸表示 𝑅𝑓 = 1𝑘Ω 𝜔 これが時間軸で の表現~ ω‐τ特性の軌跡 は立上り部分の 変化なのね 𝑅𝑓 = 800Ω 𝑅𝑓 = 500Ω 𝑅𝑓 = 300Ω 𝑹𝒇 = 𝟏𝟖𝟗𝜴 ω‐τ特性線に達 すると、それに 沿って変化する ことか 𝑅𝑓 = 100Ω 𝑅𝑓 = 100Ω 𝑹𝒇 = 𝟏𝟖𝟗𝜴 𝜏 𝐵𝐿 = 0.00001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐽𝐿 = 0.1 𝑘𝑔𝑚2 170V 最終的には平衡点、 ω‐τ 特性線の一点になります。 𝑣𝑎 0.1𝑠 前図でのω‐τ表示は０～ 60秒間の軌跡表示です 10s また慣性系負荷パ ラメータによって も変わります

４．界磁制御 界磁制御とは、界磁磁束Φを変えて回転数の特性を制御します。 主に 定格回転数以上の高速域で使用します 界磁回路 Rf を調整して回転速度 𝑖𝑎 ωを制御する方法ね 𝑅𝑎 𝐿𝑎 𝑅𝑓 if 𝑣𝑎 𝐿𝑓 𝐸𝑐 Φ 𝑣𝑎 Φ ∝ 𝑖𝑓 = ⋯ (𝑏) 𝑅𝑓 Rf を増加すると磁束Φ が減少するね 36

4.1界磁制御の方法 界磁制御を基本式からみていこう Rf 増加→ω増加 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑎 （１）モータの働き 𝜏 = 𝐾Φ 𝑖𝑎 ⋯ (1′) （２）発電機の働き 𝐸𝑐 = 𝐾Φ𝜔 ⋯ (2′) （３）電機子回路 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 ⋯ (3) if 𝑣𝑎 𝐿𝑓 𝐸𝑐 37 (2’)､(3)式から 𝜔= (3)式から 𝑖𝑎 = Φ 磁束Φは界磁電流に比例する 1. Rf 増加 → if 減少(b) →Φ減少(b)→ 2. Ec 減少(2’) → ia増加(c) →τ増加(1’)注→ 3. if τ > τload then → ω 増加→ 4. Ec 増加(2’)で平衡点に落ち着く 注）磁束の減少よりも、電流の増加が上回ります 𝐸𝑐 𝑣𝑎 − 𝑅𝑎 𝑖𝑎 = ⋯ (𝑎) 𝐾Φ 𝐾Φ 𝑣𝑎 − 𝐸𝑐 ⋯ (𝑐) 𝑅𝑎 Φ ∝ 𝑖𝑓 = 𝑣𝑎 ⋯ (𝑏) 𝑅𝑓 Rf 増加すると、Φが 減少して逆起電力が 下がり、ia が増えて トルクが上がり、 結果として 回転速度ωが増加する 理屈だね

4.1界磁制御の方法 実際とは違いますが、界磁回路を独立させてVf を変化させます 𝑣𝑓 Φ ∝ 𝑖𝑓 = 𝑅𝑓 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝐿𝑎 X 𝑅𝑓 if 𝑣𝑎 𝐿𝑓 𝐸𝑐 Rf 増加を調整する よりも界磁に加え る電圧を変える方 が簡単 𝑣𝑓 この方がLTspiceでは簡単 実用ではRf を調整？ Φ 次からの検証回路では、 Rf を調整しないで vf 電圧を調整します 38

4.2 界磁制御シミュレーション（回路） 分巻DC-モータ＋負荷トルクモデル 界磁電流を調整するための電圧源を用いた 39 if を変化させます if の制御は、vf を 調整します。 vf 調整 この方がLTspiceでは簡単 実用ではRf を調整 Vf を300Vは既定値 より高い電圧よね。 通常より高い磁束Φ から検証ね Shunt2025_fieldControl.asc 0.1s 負荷トルク 0.9s 300V 170Vが既定値 0V 𝒗𝒇 9s

4.2 界磁制御シミュレーション（低負荷トルク） if と回転速度ωの関係 𝜏𝑙𝑜𝑎𝑑 = 2 𝑁𝑚 トルク [Nm] 回転速度[rad/s] 𝝉𝒍𝒐𝒂𝒅 ia 既定値vf : 170[V] 定格ia :17[A] 電機子電流[A] 既定値 if : 0.9[A] vf 界磁電圧[V] 𝝎 𝝉 if if が減少すると回転 速度ωが増加してる if で回転速度が可 能ということ？ 磁束Φが減ると 速度上がる？ ただし、電機子電流ia が 大きく増加する。定格 17Aを超過するのは注意 ね また、 if を定格よ り増やすと、界磁 回路を損傷する恐 れもあるよ。 40

4.2 界磁制御シミュレーション（定格トルク負荷） if とωの関係 定格ω: 115.1[rad/s] 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m トルク [Nm] 回転速度[rad/s] 𝝉 if 定格電機子電流:17 A 𝜏𝑙𝑜𝑎𝑑 = 17.8 𝑁𝑚 既定値 if :0.9[A] 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝝎 界磁電圧[V] vf 既定値vf :170[V] 定格 ia :17[A] ia 電機子電流[A] if でが低すぎる と不可に負けて 逆回転する 結局ωを増加する ためにはia が増加 することだね i は10倍して表示しています 41

4.3 界磁制御（まとめ） 42 分巻モータの速度制御には次の2つの方法があります 1. 界磁抵抗Rf 変化法 ⚫ if が低いほど回転速度は速くなり、 if が高いほど回転速度は遅くなる。 ⚫ Rf制御では基本速度以上の速度制御は可能だが、基本速度以下の速度制御はしない。 2. 電機子電圧Va 変化法 ⚫ Vaが低いほど回転速度は遅くなり、 Vaが高いほど回転速度は速くなる。 τmax 一定 モータの耐熱温度制限 Pmax一定 定トルク領域 Va control 低速〜定格速度 定出力領域 Rf control ωbase 定格速度以上 ω 𝑃 = 𝜏𝜔 power P torque τ ⚫ Vaの上昇は速度上昇をもたらす、そして最高速度はモータの耐熱温度制限による。 モータの耐熱温度制限 Pmax一定 意味は 同じね Vf control Va control ωbase ωbase以上では電機子電流の制限から、Power=τω を一定とする運転を行う ω

4.1 界磁制御（まとめ） 特 徴 内 容 高速化が可能 電源電圧を上げることなく、定格速度（基底速度）以上の高速回 転を実現できます。 高いエネルギー効率 界磁電流を減らす制御であるため、大きな電力を消費せずに速度 を調整でき、損失が少ないのが特徴です。 低速域には不向き 磁束を「強める」ことには限界（磁気飽和）があるため、停止状 態からの起動や低速域の制御には「電圧制御」が適しています。 具体的な応用例 •電気鉄道（電車） • 発車時は大きなトルクが必要なため「電圧制御」を行いますが、ある程度の速度に乗った 後は、弱め界磁制御に切り替えてさらに高速まで加速します。 •工作機械（旋盤・フライス盤など） • 硬い材料をゆっくり削る時は「高トルク・低速」、仕上げなどで軽く速く回したい時は 「低トルク・高速」が必要になるため、界磁制御が適しています。 •電気自動車 (EV) のモータ駆動 • 高速道路などでの巡航時に、バッテリー電圧を無駄に上げることなく効率よく高速回転を 維持するために利用されます。 •クレーンや巻上機 • 重い荷物はゆっくり持ち上げ、空のフックは素早く戻すといった動作を実現するのに使わ れます。 43

5．分巻DCモータの暴走 Rfを大きくすると無負荷で の回転数がどんどん大き くなる。大丈夫かな？ 磁束Φが小さくなるの は、モータでも発電機 でもなくなること！ なんかおかしい事が起 こる？ 𝜔 𝑅𝑓 𝐾𝑏 無負荷回転数 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 次からはRfをパラメー タに、ω、iaがどのよ 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 起動トルク 𝜏 うに変化するかをシ ミュレートしてみます 44

5.1 分巻DCモータの暴走例 45 粘性抵抗が低い負荷のとき 𝐵𝐿 = 0.001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 900 900 10 ω 800 power Tm 定格回転 速度を大 きく超え てる！ 9 Ia 8 700 ω 6 500 Power 定格回転 速度 400 300 5 4 Rfが300Ω以上では 電機子電流 [A] 回転速度[rad/s] 7 600 ωは暴走 状態？ ia 3 200 2 Tm 100 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 0 1000 界磁抵抗Rf [Ω] 開始から10秒後の各値を計測 最高回転速度は 定格回転速度の 1.2倍～2倍程 度の設定が多い そうです

5.1 分巻DCモータの暴走例 46 粘性抵抗が高い負荷のとき 𝐵𝐿 = 0.1 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 200 200 60 180 ω power Tm Ia 先ほどより100倍大 きくしてみましょう。 変わりますね 50 160 ia に注目 ω 40 120 定格回転速度 100 30 Power 電機子電流 [A] 回転速度[rad/s] 140 y軸のスケール 明らかにωは ピークから減 少に転じてる 80 20 60 Tm 40 10 20 0 0 100 200 300 400 500 界磁抵抗Rf [Ω] 600 700 800 900 0 1000 開始から1秒後の各値を計測 ia は粘性抵抗が 大きくなると増 加するね。これ はトルクを増や すためだね

5.1 分巻DCモータの暴走例 粘性抵抗が低い負荷のとき 𝐵𝐿 = 0.001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 回転速度ω 1kΩ 回転速度[rad/s] ① 粘性抵抗が低い とき、Rf を小さ くすると暴走？ 危険じゃないの 整定してない 400Ω 整定 400Ωまでは2秒以内 に整定するけど1KΩ ではこの時間内では 増加がとまらない。 どうして整定時間に 差があるのかな？ 200Ω 50Ω ② 電機子電流 [A] 47 電機子電流L2 1kΩ 整定してない 400Ω 200Ω ゼロになる 理由を探り ます！ 2秒

5.2 分巻DCモータの暴走理由 48 結論からすると、 暴走の原因は 1. 回転速度ωに比例して入力電圧を打ち消す 逆起電力(𝟐′ 𝒂)が小さくなる。 界磁電流if の減少に 伴う磁界Φの低下が 主原因だね 2. 入力電力がモータでの消費電力を上回る 次からは２．について調べてみよう。 ⚫ モータと発電機の特性は次式となります 𝑖𝑎 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝐿𝑎 if 𝑣𝑎 𝐿𝑓 𝐸𝑐 Φ （１）モータの働き 𝑇 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1′ 𝑎) （２）発電機の働き 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2′ 𝑎) 主犯 ⚫ モータに電圧を加えた時の回路方程式は次式となります 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑐 ⋯ (3)

5.2 分巻DCモータの暴走理由 現象をみるとパワー の問題かな？ 確認してみる 供給Power > 消費Power 電気回路系→機械系へのPower供給 機械系でのPower消費 𝑒𝑚𝑓 × 𝑖𝑎 = 𝐾𝑏 𝑖𝑎 𝜔 × 𝑖𝑎 = 𝐾𝑏 𝑖𝑎2 𝜔 𝑈𝐿 × 𝑖R𝐿 = 𝑅𝐿 𝑖𝑅2𝐿 釣合は、定常状態で以下の条件を満たす必要がある？（仮説） 𝐾𝑏 𝑖𝑎2 𝜔 = 𝑅𝐿 𝑖𝑅2𝐿 暴走条件： 電気系からの供給Power > 機械系での消費Power 49

5.2 分巻DCモータの暴走理由 50 整定条件： 電気系から供給されるPower ＝ 機械系で消費するPower 等価電気回路モ デルで確かめて みましょう 170V 𝑣𝑎 0.1𝑠 Rfパラメータ 負荷 Power消費がみそ！ 供給： 𝐾𝑏 𝑖𝑎2 𝜔 消費： 𝑅𝐿 𝑖𝑅2𝐿 これらを計測します Shunt2025_Rf-Kansei-v2.asc

5.2 分巻DCモータの暴走理由（例1） 51 Powerが釣合った時点 でω一定となる ω 回転速度[rad/s] 800Ω 500Ω 回転数の時間変化 𝐵𝐿 = 0.01 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 （例1） ⚫ 上図：界磁抵抗Rfの 違いによる回転数の 時間変化 200Ω 100Ω ⚫ 下図：供給と消費の 時間変化 800Ω ✓ 供給と消費が等しい 時点で回転速度が一 定となっています Powerの供給と消費 供給と消費が等しい 500Ω 赤：供給Power 青：消費Power 仮説の 検証 𝐾𝑏 𝑖𝑎2 𝜔 = 𝑅𝐿 𝑖𝑅2𝐿 200Ω 100Ω 5秒 下図ではデータから電力を計算しています

5.2 分巻DCモータの暴走理由（例2） 52 Powerが釣り合った 時点でωは整定する ω 800Ω 回転速度[rad/s] 𝐵𝐿 = 0.001 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 500Ω ⚫ 上図：界磁抵抗Rfの 違いによる回転数の 時間変化 200Ω ⚫ 下図：供給と消費の 時間変化 回転数の時間変化 data演算 data演算 100Ω 800Ω ✓ 供給と消費が等しい 時点で回転速度が一 定となっています 供給と消費が等しい Powerの供給と消費 500Ω 赤：供給Power 青：消費Power 𝐾𝑏 𝑖𝑎2 𝜔 = 𝑅𝐿 𝑖𝑅2𝐿 100Ω 200Ω 10秒 暴走モードだが Powerの供給と消 費が釣り合った時 点で整定している

5.2 分巻DCモータの暴走理由（例3） 回転速度[rad/s] ω 800Ω 500Ω Powerが釣り合った 時点でωは整定する 𝐵𝐿 = 0.01 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 慣性モーメントは 重要じゃないの？ 回転数の時間変化 200Ω 100Ω 800Ω 供給と消費が等しい 赤：供給Power 青：消費Power 500Ω そこで 慣性質量を 100倍にした 慣性体へのエネ ルギ供給で時間 がかかるけど本 質は同じだね 𝐾𝑏 𝑖𝑎2 𝜔 = 𝑅𝐿 𝑖𝑅2𝐿 200Ω 100Ω 20秒 53 赤：供給Power 青：消費Power

5.3 分巻DCモータの暴走理由（結論） 暴走の原因は 1. 回転速度ωに比例して入力電圧を打ち消す 逆起電力(𝟐′ 𝒂)が小さくなる。 2. 入力電力がモータでの消費電力を上回る 54 主犯 今回検証 暴走は電力の供給が機械側の消費より大きいときに発生する。 粘性抵抗が低い軽負荷での運転は注意 結論 ⚫ 界磁電流を弱めすぎると、回転数は急上昇する ⚫ 無負荷または軽負荷＋界磁喪失の組み合わせが最も危険 ⚫ 実機では界磁断線＝危険状態として必ず保護が入る 検証

６．電気ブレーキ モータの制動方式について、次の2つについて話します １．電気ブレーキ Dymanic Braking 熱として消費 (廃棄) ２．回生ブレーキ Regenerative Braking 電力として再利用 (回収) 抵抗器で熱として消費するため、 バッテリー残量や電圧などのシス 安定して強い制動力が得やすい。 テム状況に制約されることがある。 55

モータの制動 56 項目 電気ブレーキ (Dynamic Braking) 回生ブレーキ (Regenerative Braking) 発電エネルギの 使い道 熱として消費 (廃棄) 電力として再利用 (回収) エネルギー変換 運動エネルギ → 電気エネルギ → 熱エネ ルギ 運動エネルギ → 電気エネルギ 主な用途 産業機械の非常停止、鉄道の減速 電気自動車 (EV) やハイブリッド車 (HV)、 鉄道の省エネ減速 構成要素 モーター、電力消費用抵抗器 (ヒーター) モーター、バッテリーまたは架線 (送電設 備) 環境性能 熱を放出するため、エネルギ効率は低い。 エネルギを回収するため、エネルギ効率が 高い。 ブレーキ力 抵抗器で熱として消費するため、安定して バッテリー残量や電圧などのシステム状況 強い制動力が得やすい。 に制約されることがある。

６．電気ブレーキ(Dynamic Braking) モータの制動（ブレーキ）とは、その発電機能を 用いて運動エネルギーを吸収すること 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝑣𝑎 if 𝐿𝑎 τ 𝑖𝑎 𝑖𝑎 𝑇 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1′ 𝑎) 𝐾𝑠 𝐽𝐿 𝐽 𝐿𝑓 （１）モータの働き 𝜔𝐿 𝑡 電気 エネルギ ω 𝐵a 𝐵𝐿 TL 慣性体回転 エネルギ 運動エネルギ （２）発電機の働き 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2′ 𝑎) 電気 エネルギ 慣性体回転 エネルギ 57

６．電気ブレーキ ダイナミックブレーキとは、主に電気モーターを速やかに減速・停止させるための 電気的なブレーキ機能です。 ⚫ 駆動電源を切った後、慣性で回転しているモーターを発電機として機能させ、 発生した電気エネルギーを抵抗器で熱として消費することで、逆方向の強い制 動力を発生させます。 ⚫ 発電した電力を架線に戻す回生ブレーキとは異なり、熱として消費します。 分巻DCモータですと、 抵抗器に接続した時点で、 磁束Φがゼロになるため、 他励磁方式にしました 𝑅𝑎 𝐿𝑎 τ if 𝑖𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑏 ib 𝑣𝑎 𝐿𝑓 𝐾𝑠 シミュレーションなら 様々可能です 𝐽𝐿 𝐽 Φ ω 𝐵a 𝐵𝐿 𝜃𝐿 𝑡 𝜔𝐿 𝑡 58

６．電気ブレーキ 59 駆動電源を切った後、慣性で回転しているモーターを発電機として機能させ、 発生した電気エネルギーを抵抗器で熱として消費することで、逆方向の制動力 を発生させます 抵抗器Rbに回路を切替ると これが切替 SW 回転エネルギを蓄 積する慣性質量 𝑅𝑎 𝐿𝑎 τ if 𝑅𝑓 𝑅𝑏 熱に変える 抵抗器 ib 𝑣𝑎 Φ 𝐾𝑠 𝐽𝐿 𝐽 𝐿𝑓 ω 𝐸𝑐 𝐵a 当然、Raでも熱 として消費して います。 𝐵𝐿 1. モータへの電力供給が なくなる 2. しかし、慣性のため回 転は急に変化できず モータは回転を続ける 3. このためモータは、そ の発電機能により逆起 電力Ecを発生する 4. この発電電力は、抵抗 器Rbにより熱として消 費される 5. 発電中は、モータから 電流 ibが流れ出し、こ の電流によるブレーキ トルクが発生する

6.1 電気ブレーキの基礎式 60 電気的等価回路への変換 𝑅𝑎 𝐿𝑎 τ if 𝑖𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑏 ib 𝑣𝑎 𝐿𝑓 独立性がはっ きりとわかる ようにGNDを 明示したのね 𝐾𝑠 𝐽 𝐽𝐿 Φ ω 𝐵a 𝐵𝐿 他励磁式DCモータで電気ブレーキ方式の 等価電気回路を示しまします ia 𝑅𝑏 𝑅𝑓 ib if 𝑅𝑎 𝜔 𝐿𝑎 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 𝐿𝑠 𝑈𝐿 𝑣𝑎 𝐿 E𝒄 𝑖𝑎 = −𝑖𝑏 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 𝑓 𝜔𝐿 𝑈𝑐 モータ電気回路部分 𝜏 𝐶𝐽 𝑅𝑜 𝐶𝐿 𝑅𝐿 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 モータ機械部分の電気回路analogy

6.1 電気ブレーキの基礎式 モータの基礎式 分巻DCモータの ω‐τ特性 𝜏 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 ⋯ (1′ 𝑎) 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 ⋯ (2′ 𝑎) 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 ⚫ 抵抗器Rbに回路を切替る 1. Ecは(2’a)式となるから電流 ib は次 式を満たす（過渡項は省略） 𝐸𝑐 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 𝑖𝑏 ⋯ (𝑎) 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 𝑖𝑏 ⋯ (𝑏) 2. モータブレーキトルクは(1’a)式から 𝜏𝑙 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑏 ⋯ 𝑐 3. (a), (b), (c)式から、ブレーキ トルクは次式となる 2 式を使って 説明します 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜏𝑙 = − 𝜔⋯ 𝑑 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 抵抗器Rbに回路を切替る（電気ブレーキ） 1. 回転速度ωは急に変化できないため、モータは 発電機となり、逆起電力Ecを供給する 2. そしてRbによりPowerを消費する 3. モータは、電流 ibによるブレーキトルクを発生 する (ia=-ib ) 61

6.1 電気ブレーキの基礎式 1. 負荷トルクτl1 のとき、抵抗器Rb に回路が切り替わる（a） 𝜔 b 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝜔0 2. 回転速度ω1でのトルクτl2に状態 が移る a 𝜔1 回転速度ωを(d)式に沿い下げて いく 𝜏 𝜏𝑙3 𝜏𝑙2 (b) 3. 抵抗器Rbで電力を消費しながら 𝑹𝒃 𝑅𝑏𝑖 62 4. また電流によるブレーキトルク は以下となる 𝜏𝑙1 c (c) 𝜏𝑙 = −𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑏 𝑅𝑏 𝑅𝑓 ib 𝑣𝑎 𝐿𝑓 if 𝐿𝑎 E𝒄 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 𝜏 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝑖𝑎 慣性負荷 𝑈𝑐 𝜔 𝑅𝑎 𝐿𝑠 𝐶𝐽 𝑅𝑜 𝐶𝐿 𝜔𝐿 𝑈𝑙 負荷トルク ia 𝑅𝐿 𝜏𝑙

6.2 シミュレーション（回路） 他励磁式 DC-モータ＋慣性負荷モデル 63 他励磁式DCモータでシミュレーション 定格電機子電流:17 A 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω 抵抗器Rb=30Ω Rb 1. SWの切替はPluse(V3)で行う 2. 始めの4秒間は、S1:ON。モー タが回転開始。定常速度になる 粘性抵抗BL:0.01Nm/(rad/s) ねじれ剛性Ks:200Nm/rad 3. 4秒以降S2:ON。抵抗器Rbに切 替り、発電機となったモータか らの電流をRbで消費する 𝐾𝑏 𝑖𝑓 = 1.1634 × 慣性質量JL:0.142kgm2 （電機子慣性の10倍とした） dynamic braking.asc 170 = 1.047054 189.89 1. 分巻式だと切替で抵抗に変えた時、磁 束Φが消失して発電機能がなくなる 2. このため、励磁回路電源はVaに接続 したままにした

6.2 シミュレーション（結果） 64 1. 0～4秒：モータ始動 𝜔 162.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝐾𝑏 𝑣𝑓 回転速度[rad/s] b 2. 4秒以降：外部抵抗Rb に回路が切り替わる 𝑣𝑎𝑅𝑓 τ-ω相表示 a 𝐵𝐿 = 0.01 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 3. 回転速度ωは低下し、そ れに伴い逆起電力も減少 する 4. 電機子電流iaはモータか ら抵抗器Rb へ流れ出す 𝑅𝑏 = 30Ω 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝑣 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝑎 c 61.3 𝑁𝑚𝑠 5. モータに流れる電流iaは 負のため、逆トルクを派 生してブレーキとなる 𝜏 トルク [Nm] 回転速度 4.96 𝐴 iR Rb電流 トルク [Nm] 時間軸表示 ω 回転速度[rad/s] 計算 2 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜏𝑙 = 𝜔 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 1.0471 2 162.36 2.905 + 30 = 5.1664 𝑁𝑚 𝜏𝑙 = 0A 逆トルク ブレーキ 発生トルク −5.17 𝑁𝑚 τ ブレーキトルクは 5.17 [Nm]

6.2 シミュレーション（Rb変化） 65 抵抗器Rbをパラメータ 𝜔 回転速度[rad/s] b 100Ω τ-ω相表示 a 𝐵𝐿 = 0.01 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 50Ω 30Ω 傾き： − 10Ω 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 𝐾𝑏 𝑖𝑓 2 c 61.3 𝑁𝑚𝑠 トルク [Nm] 回転速度 発生トルク 0A ブレーキ 逆トルク 𝜏 抵抗値を小さく しても制動力は あまり大きくな いような？ 時間軸表示 τ トルク [Nm] 抵抗器を幾つ かか変化させ たシミュレー ションを行い ました 100Ω Raが3Ωある ね。そうする と発熱も大き いのかな？ 50Ω 30Ω 10Ω 取上げた数値が妥当かは 怪しいです

6.3 坂道brakingシミュレーション 電車で下り坂を電気ブ レーキをかけながら走 るとどうなるの？ 下り、だから一定 の加速トルクTl が 加わった状況だね 𝑅𝑎 𝐿𝑎 τ if 𝑖𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑏 ib 𝑣𝑎 𝐿𝑓 シミュレーション で検証します 𝐾𝑠 𝐽𝐿 𝐽 Φ ω 𝐵a 𝐵𝐿 TL 66

6.3 坂道brakingシミュレーション 分巻 DC-モータ＋慣性体＋負荷トルクモデル 67 定格電機子電流:17 A 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω 坂道の途中でブレーキ 坂道負荷 -5[Nm] 0~4s:平地走行 4~6s:坂道＋NoBraking 6s~ :坂道＋Braking 電気ブレーキ 実験します 6s後にBraking 粘性抵抗BL:0.01Nm/(rad/s) ねじれ剛性Ks:200Nm/rad 𝐾𝑏 𝑖𝑓 = 1.1634 × 慣性質量JL:0.142kgm2 （電機子慣性の10倍とした） dynamic braking-Tl-v2.asc 170 = 1.047054 189.89

6.3 坂道brakingシミュレーション 162.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔 𝑣𝑎𝑅𝑓 回転速度[rad/s] 坂道が始まると、回転 ωが増加して、回生ブ レーキがかかり、6秒 後に電気ブレーキがか かり時間経過に従い一 定回転ωになるわけね。 𝐵𝐿 = 0.01 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 τ-ω相表示 𝐾𝑏 𝑣𝑓 平衡点 𝑅𝑏 = 30Ω 𝑅𝑏 = 30Ω 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝑣 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝑎 61.3 𝑁𝑚𝑠 𝜏 τ-ω相面の平衡 点は一定回転で 一定のBraking 力を受けている ことを示してい ることかな トルク [Nm] ω iR Rb電流 時間軸表示 0A 逆トルク τl ブレーキ τ 坂道加速トルク Braking start 平地 発生トルク 坂道 トルク [Nm] 回転速度[rad/s] 回転速度 68

電気ブレーキ（まとめ） ダイナミックブレーキとは、主に電気モーターを速やかに減速・停止させるための 電気的なブレーキ機能です。 駆動電源を切った後、慣性で回転しているモーターを発電機として機能させ、発生 した電気エネルギーを抵抗器で熱として消費することで、逆方向の強い制動力を発 生させます。 発電した電力を架線に戻す回生ブレーキとは異なり、熱として消費します。 結局、下坂による加速ト ルクと電気ブレーキによ る逆方向トルクが釣り合 う点で電車速度で走るこ とになるのね。 慣性質量や粘弾性 係数によっていろ いろ変化があるか もしれないので各 自確認だね もっとも、坂道では回生 ブレーキだから、このよ うな使い方は無いのかも しれない。 69

７．回生制動 回生制動電源電圧を下げてみる 𝑣𝑎 ω 𝑅𝑓 𝐾𝑏 ω‐τ 特性 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 負荷線 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 vb=85V va=170V 𝜏 電圧を下げると どうなるのかな 70

7.1 回生制動の基礎式 71 運転中にvaを変えるとどう なるかな？ vaで磁束Φも変わるけど！ ω‐τ特性が永久磁石型と ちょっと違うからな～？ 𝑅𝑓 𝐾𝑏 電圧でか わらない 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 分巻DCモータ ω‐τ 特性 𝑣𝑎 𝜏 if 𝐿𝑎 τ 𝑖𝑎 𝐾𝑠 𝐽𝐿 𝐽 𝐿𝑓 𝑖𝑎 ω 𝐵a 𝐵𝐿 𝜃𝐿 𝑡 𝜔𝐿 𝑡

7.1 回生制動の基礎式 界磁制御でやったけど、 分巻式DCモータではva を小さくしすぎると変な 例えば、va =0[V]では、 ことになるわね モータとして機能しない。 磁束Φがゼロになり、 今回は、電源電圧を半分 にした時をシミュレート ω 𝑅𝑓 𝐾𝑏 してみる ω‐τ 特性 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 負荷線 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 vb=85V va=170V 𝜏 平衡点は、負荷に よって決まる。そこ で、今回は図のよう な粘性負荷とします 72

7.1 回生制動の基礎式 73 ωーτ特性から、負荷直線との交点、 すなわち平衡点を計算してみる ω 𝑅𝑓 𝐾𝑏 d 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 a 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 負荷線 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 𝜔𝑎 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 0 vb動作線 va動作線 この2直線の 交点を計算 𝜔𝑎 = 𝜏 負荷がない 場合は？ 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 + 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐵𝐿 ⋯ (𝑎) d点だよね。ここ は電圧が変わって も変わらないね

7.1 回生制動の基礎式 ω 電源電圧va, vbとした特性曲線を描いてみる。 電圧を切替えた時の遷移はどうなるのだろう 𝑅𝑓 𝐾𝑏 d 𝜔𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 1. 一定回転になった状態aから電源電圧を 変化（Va→Vb）させます 負荷線 2. すると、動作特性はVb特性線（点線） となります 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 a b c 0 74 3. しかし、慣性があるため回転速度ωは急 に変化できないので状態は“aからb”に 移ります 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝜏0 𝜏 va動作線 vb動作線 4. このとき、トルクτ0となります 5. そして、徐々に回転速度ωが下がり、 状態が“bからc”へ特性線上を移動して cで一定回転になり定常動作となります 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝑣𝑎 if 𝐿𝑎 τ 𝑖𝑎 𝐽𝐿 𝐽 𝐿𝑓 𝑖𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝑇 ⋯ (4′) 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝐾𝑠 ω 𝐵a 𝐵𝐿 𝜃𝐿 𝑡 𝜔𝐿 𝑡 𝜔𝑎 = 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 + 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐵𝐿 ⋯ (𝑎)

7.1 回生制動の基礎式 75 シミュレーションパラメータ 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝜔𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 a b 確かめ よう 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝑣𝑏 = 85 𝑉 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝐵𝐿 = 0.1 𝑁𝑚 負荷線 𝑅𝑎 = 2.905Ω 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 𝑅𝑓 = 188.89Ω 𝜔𝑎 = 128.3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔𝑏 = 78.82 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔𝑏 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 c 0 vb動作線 具体的値を入れて シミュレーション してみよう va動作線 (a)式より （負荷線と特性線の交点から計算） 𝜏 1. 電源電圧V=170Vで起動 2. 回転摩擦トルクは0.1[Nm/(rad/s)]とし ます 3. ある時点でV=85Vに切り替えます 4. ただし慣性のため回転速度は急には変化せ ず “a→b”に動作点が移動 5. この時、発生トルクは、τ0になります 6. そして徐々に回転速度が低下、一定速度と なる“b→c”

7.2 シミュレーション（回路） 分巻 DC-モータ＋慣性体モデル 76 定格電機子電流:17 A 定格界磁電流:0.9 A 定格トルク:17.8N m 定格回転速度:1100 rpm (115.1rad/s) 𝑣𝑎 = 170 𝑉 , 𝐾𝑏 = 1.1634 𝐻 𝑅𝑎 = 2.905Ω. 𝑅𝑓 = 188.89Ω Va →Vbと電圧を低下 回生制動の実験します 170V 𝑣𝑎 80V 𝑣𝑏 3.9𝑠 0.1𝑠 粘性抵抗BL:0.02Nm/(rad/s) ねじれ剛性Ks:200Nm/rad 𝐾𝑏 𝑖𝑓 = 1.1634 × 慣性質量JL:0.142kgm2 （電機子慣性の10倍とした） Shunt2025_LoadKaisei-v2.asc 170 = 1.047054 189.89 1𝑠 PWLで制御

7.2 シミュレーション (例1：1.0ｓ) 77 Va →Vb：1秒 負荷線 162.5 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 回転速度[rad/s] b 131.0 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 𝐵𝐿 = 0.02 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 a c τ-ω相表示 170V 80V 𝜔 𝑣𝑎 0.1𝑠 2.62 𝑁𝑚𝑠 13.6 𝑁𝑚𝑠 𝑣𝑏 1𝑠 61.3 𝑁𝑚𝑠 𝜏 トルク [Nm] 回転速度 電源電圧 80V 粘性抵抗抗力 トルク [Nm] 回転速度[rad/s] ω 発生トルク ω𝐚 𝑟𝑎𝑑/𝑠 τ0 𝑁𝑚 80 131.00 2.620 170 154.2 3.083 時間軸表示 170V τ 𝑣𝑎 𝑉 0A a,c点では理 論通りだね。 b点は粘性抵 抗のため少し 違うね

7.2 シミュレーション(例2：0.1ｓ) 78 Va →Vb：0.1秒 162.5 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 b c 回転速度[rad/s] τ-ω相表示 𝑣𝑎 𝑉 ω𝐚 𝑟𝑎𝑑/𝑠 τ0 𝑁𝑚 80 131.00 2.620 170V 170 154.2 3.083 𝜔 80V 𝑣𝑎 0.1𝑠 170→80Vが 例１：1.0ｓ 例２：0.1ｓ 𝑣𝑏 0.1𝑠 だ。 13.6 𝑁𝑚𝑠 61.3 𝑁𝑚𝑠 𝜏 トルク [Nm] 170V 時間軸表示 𝑣𝑎 𝑡 ω τ a,c点は 理論通り 回転速度 発生トルク 80V トルク [Nm] 回転速度[rad/s] 𝐵𝐿 = 0.02 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 a 0A 逆トルク ブレーキ b b点も次式だ ね。vaの変化 がωの低下よ り速い 𝑣𝑎 𝑡 − 𝐸𝑐 𝑡 < 0 𝐸𝑐 = 𝐾𝑏 𝑖𝑓 𝜔

付 録 79 励磁電圧が変化しない場合との比較をしてみます 分巻DCモータの回生制動(励磁独立） 分巻DCモータ 励磁回路独立の場合 何のことはない、 他励式のことね。 part2の他励式DCモータとはパラメータ値が違います。 分巻式DCの励磁回路を独立にしたらとの仮定です。

A.1 分巻DCモータの回生制動(励磁独立） 分巻 DC-モータ＋慣性体モデル （励磁回路分離独立） 励磁回路を分離し たら実験 磁束Φがva によって変 化しない場 合と比べて みます 励磁回路を分離 して、独立回路 としました。 shunt-Va-LoadKaisei-regene.asc 粘性抵抗BL:0.02Nm/(rad/s) ねじれ剛性Ks:200Nm/rad 𝐾𝑏 𝑖𝑓 = 1.1634 × 慣性質量JL:0.142kgm2 （電機子慣性の10倍とした） 170 = 1.047054 189.89 80

負荷線 162.5 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 a b 𝐵𝐿 = 0.02 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 τ-ω相表示 170V 80V 𝑣𝑎 76.4 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 72.6 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 0.1𝑠 c 1.45 𝑁𝑚𝑠 13.6 𝑁𝑚𝑠 28.8 𝑁𝑚𝑠 1𝑠 61.3 𝑁𝑚𝑠 時間軸表示 電源電圧 ω τ 発生トルク 回転速度 ω𝐚 𝑟𝑎𝑑/𝑠 τ0 𝑁𝑚 80 72.56 1.451 170 154.2 3.083 170→80Vが 例１：1.0ｓ 例２：0.1ｓ だ。 𝜏 0A 80V 𝑣𝑎 𝑉 励磁回路を分離し たら実験 𝑣𝑏 トルク [Nm] 170V 81 Va →Vb：1秒 𝜔 トルク [Nm] 回転速度[rad/s] 回転速度[rad/s] A.1 分巻DCモータの回生制動 (励磁独立例１）

A.1 分巻DCモータの回生制動 (励磁独立例2） Va →Vb：0.1秒 𝜔 𝜏0 = −29.354 𝑁𝑚𝑠 回転速度[rad/s] b 162.5 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 負荷線 𝐵𝐿 = 0.02 𝑁𝑚Τ 𝑟𝑎𝑑 Τ𝑠 𝐾𝑠 = 200 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐿 = 0.142 𝑘𝑔𝑚2 a τ-ω相表示 170V 80V 76.4 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 72.6 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠 𝑣𝑎 0.1𝑠 c 28.8 𝑁𝑚𝑠 1.45 𝑁𝑚𝑠 13.6 𝑁𝑚𝑠 ω𝐚 𝑟𝑎𝑑/𝑠 τ0 𝑁𝑚 80 72.56 1.451 170 154.2 3.083 𝜏0 = 𝑣𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑓2 𝑣𝑏 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐾𝑏 𝑣𝑓 0.1𝑠 61.3 𝑁𝑚𝑠 電気ブレー 𝜏 キがかかっ てる 時間軸表示 電源電圧 ω τ トルク [Nm] トルク [Nm] 回転速度[rad/s] 𝑣𝑎 𝑉 しっかりと 170V 82 0A 80V 回転速度 発生トルク − 𝜔𝑎 ⋯ (𝑐)

ω‐τ 特性 ω 𝑅𝑓 𝐾𝑏 d 負荷線 𝜔𝑎 = c 𝜏0 = 𝜏 va動作線 𝜔 回生制動 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 + 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐵𝐿 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝜏0 vb動作線 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑎2 𝜔𝑐 = 負荷線 − 𝜔𝑎 ⋯ (𝑐) 𝐾𝑏2 𝑣𝑏2 + 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐵𝐿 ⋯ (𝑑) 𝜔𝑎 = 𝜔= c vb動作線 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝑣𝑎 𝐾𝑏2 𝑣𝑓2 + 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐵𝐿 ⋯ (𝑎) 𝜏𝑙 = 𝐵𝐿 𝜔𝑎 ⋯ (𝑏) a b 0 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐾𝑏 励磁回路独立の場合 𝑅𝑓 𝑣𝑎 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝜔𝑎 𝜏0 𝐾𝑏2 𝑣𝑏2 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑏2 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 𝜔𝑐 ⋯ (𝑎) 𝜏𝑙 = 𝐵𝐿 𝜔𝑎 ⋯ (𝑏) 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝜔= − 𝜏 𝐾𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑎2 𝜔𝑎 𝜔𝑐 （vaを変化した場合） 𝜏 = 𝐵𝐿 𝜔 a 0 分巻DCモータの特性式 𝑣𝑎 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 − 𝜏 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝐾𝑏2 𝑣𝑓2 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝑣 𝑅𝑎 𝑅𝑓 𝑎 𝜏𝑙 va動作線 𝜏 𝜏0 = 𝜔𝑐 = 𝐾𝑏2 𝑣𝑓2 𝑣 𝑏 𝑅𝑓 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐾 𝑏 𝑣𝑓 − 𝜔𝑎 ⋯ (𝑐) 𝑅𝑓 𝐾𝑏 𝑣𝑓 𝑣𝑏 𝐾𝑏2 𝑣𝑓2 + 𝑅𝑎 𝑅𝑓2 𝐵𝐿 ⋯ (𝑑) 83

つづく 84 ⚫ 今回は分巻です。内容は、他励式とそれほど大きな変化はなく、昨年末にほぼ出来てい たのですが少し時間がたっての掲載です。 ⚫ 実は昨年末から、notebookLMでいろいろ遊んでいました。研究論文を読み込ませ、論 文の概要のチェック、気になる部分に焦点を当てた問答、そしてマインドマップやレ ポートなどのツールを用いての論文の解析は本当に便利ですね感激しました。 ⚫ なにより全て日本語で答えてくれること。漢字を用いた文章は本当に効率が良いです （私にとって）。英文では内容がするっと頭に入ってこないのに、漢字では一瞬で内容 がわかります。英語nativeはword語塊として認識してるので、その差は無いそうです (word語塊→ Transfer Function:伝達関数, nonlinear system:非線形系)。しかし、漢 字の方が認識しやすく情報量が多いのではと思っています。 ⚫ さて本編では実際のモータのパラメータをシミュレーションで利用しました。しかし、 電源電圧の変化時間、負荷パラメータの値などかなり適当なパラメータを使っています。 その点ご注意ください。ただし、LTspice ProgramをGitHubに置きましたので各人の 利用でのパラメータを設定して、動作挙動など確認いただければ幸いです。 ⚫ 次回は、直巻を解説予定です。事前のシミュレーションを行たところ、直巻きでは暴走 状態などの現象もあり、なかなか面白そうです。 ⚫ アナロジーは形式的なもので、物理的意味はない、という意見もあります。どうなので しょうか、私も知りたいところです。

参考文献 85 中田孝:工学解析(技術者のための数学手法),オーム社,1972、総頁572.

参考文献 86 ⚫ Arévalo, E.; Herrera Hernández, R.; Katselis, D.; Reusser, C.; Carvajal, R. On Modelling and State Estimation of DC Motors. Actuators 2025, 14, 160. https://doi.org/10.3390/act14040160 教科書的に大変参考にさせてもらった(Google scholarでFree-DLできた) ⚫ A. E. Fitzgerald,et,al, Electric Machinery, Sixth Edition, MacGraw Hill, 2003 今回利用したLTspice schematicファイル(.asc) は下記に置きました https://github.com/m4881shimojo/DCmotor Github (DCmotor)をZIPファイルとしてdownloadするのをお勧めします。 GitHubリポジトリ全体をダウンロードする場合は、 緑の 「Code」→「Download ZIP」 を選び、 展開すれば正しい形式の.ascファイルが含まれています。

• https://github.com/m4881shimojo/DCmotor
• https://doi.org/10.3390/act14040160

補足：中田孝氏について 中田 孝（1908- 2000）：日本の機械工学者。東京工業大学名誉教授。 元日本機械学会会長。元計測自動制御学会会長。元日本学士院会員。日本 学士院賞受賞。 https://ja.wikipedia.org/wiki/中田孝 中田孝先生は、大学院時代に私が所属した研究室の前教授でした。著書「転位歯車」は 修論では大変お世話になりました。しかし、いろいろな逸話などは聞くことはありまし たが、中田先生にはお会いしたことは残念ながらありませんでした。先日、同期で研究 室を引き継いだ北條さん（東工大名誉教授）に会った時、その話をしたところ、中田先 生の講義ビデオを送って頂き、初めてその肉声に触れることができました。感謝します。 そのビデオを見ながら、中田先生は、歯車の研究で日本学士院賞を45歳で受賞したのを はじめ、自動制御、NC工作機などの分野も手掛けた非常にエンジニアリングセンスの高 い方であり、また数学や電気電子工学に対する造詣も大変深い方だと認識を新たにしま した。またビデオの中で“歯型理論にはあまり手を付けたくなかったが電気回路理論の 応用に興味を持っていたので研究を進めた”とのあたりは、非常に親近感を感じました。 中田孝先生の紹介記事です【日本の工作機械を築いた人々】 大河出版「応用機械工学」1988年4~5月号掲載、 https://www.sme-japan.org/library5.pdf 中田先生のNC工作機械を開発したのときの開発談が語られています。大変面白い内容ですのでお勧めです。 87

• https://www.sme-japan.org/library5.pdf
• https://ja.wikipedia.org/wiki/

補足（私の卒論・修論） 88 【卒研】私は卒業研究では電通大の梶谷誠先生の研究室で歯車を加工するホブ盤の制御回路を作成しました。但し、装置は東 工大石川研にありました。開発する制御回路は、ホブ盤主軸の回転角度を計測して、切削工具を駆動する電気油圧パルスモー タを制御するものです。この電気油圧パルスモータは、電気パルスモータの出力をプランジャー形油圧モータでトルク増幅す るという仕組みでした。初めてホブ盤を見たときの印象は巨大な鉄の塊で、制御ミスでパワフルな油圧モータなどを暴走させ たらどうなるかと、恐れを抱いたものです。 試作した回路は、単純な論理素子（TTL)を組合わせた回路です。当時は論理素子の黎明期で、詳しい書籍など無い時に初 歩の初歩から学び始め、TI社の分厚いハンドブックで論理素子の細かな仕様をチェックしながら、連日連夜、回路を試作して はオシロスコープなどを使い動作を確認して、回路を設計していました。本当に充実した楽しい時間でした。ご指導頂いた梶 谷先生には心から感謝しています。 しかし、実機実験では散々で、必死で改良を重ね何とか動作させました。やっと加工できた歯車を見たときの感激は今も忘 れません。しかし、歯すじ誤差に問題がありました。その原因は切削加工力の増加に伴うモータ回転遅れです。これは電気油 圧パルスモータの最大の長所でもある、開ループ制御の限界だったのでしょう。(後に中田先生が電気油圧パルスモータの開 発にも深く関与していたと知りました。奇妙な縁を感じます） 【就職】卒業後はX社に就職しました。理由はX社の子会社であるF社でのロボット開発に関心があったためです。当時F社へ はX社に就職する必要がありました。そして、入社時実習は希望先のF社でした。ところが、本配属では全く違うX社部署だっ たため、すぐに退職して東工大院の石川研(中田研の後継研究室)へ進学することにしました。人生にifはつきものですが、F 社に入っていたら全く違う人生を送ったようにも思います。 【修論】修論では習得した論理回路の設計技術を用いて、自動歯車精度測定機の開発に係り、歯形計算回路と測定機の制御回 路の開発を行いました。また修士2年の中頃、当時の先進機器であるミニコン(HP-21MX)が納入されたので、データ処理 （Fourier解析など）に利用することにしました。それからは、ミニコンと歯車測定機とのinterface回路設計から始めて、各 種プログラム作りと正月もない日々でした。またなんと、ミニコンは紙テープベースの開発システムで、コンパイラもライブ ラリもリンカも、全て毎回毎回、そのsoftwareを紙テープから読込ませる必要があり、コンパイル結果なども紙テープで TTY(110 baud rates)出力という、本当に気が狂うようなシステムでした(これと比べるとDOSは凄い)。実は、修論にはミ ニコンを利用する必要は全くなかったのですが、好奇心から無理にお願いして利用したのが真実です。これらの成果は機械学 会誌に論文として掲載できました。そして修了後は、国の研究機関に就職することに致しました。 大学時代に、昼夜を忘れて一心不乱に学んだ論理回路設計、計算機の経験は私の一つの財産になったように思います。 (DOS: Disk Operating System)

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