Robot Hand Graspingの基礎 その１

2022.12.06 Grasping Robot Hand の基礎その１ “Wrenchとは何か？” 下 条 誠 電気通信大学名誉教授 https://researchmap.jp/read0072509/ https://www.docswell.com/user/m_shimojo The University of Electro-Communications Department of Mechanical Engineering and Intelligent System

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内 1. 前説：座標系の表記方法の違い ① Craig書籍 ② Murray書籍 ③ Lynch書籍 2. Wrenchとは何か ① 座標系の違いによるwrench ② その３つの空間 3. 接触系でのwrench ① 点接触、摩擦あり、ソフト指 ② 摩擦円錐の線形化 4. 物体系でのwrench ① wrench basis matrix ② 接触点から物体系への座標変換 ③ 例題(Murray,Lynch) 容 2

はじめに 把持の力学を学び始めでwrenchという単語がでてきます。 Wrenchとは、 力とトルクを合わせた表記です。なんだ簡単であると思っていると、これ がいろいろと展開をしてきます。摩擦円錐の多角形近似だの、wrench basis matrix、hand jacobian、ここまでは許容範囲です。そして把持評価 ではwrench集合の凸包など出てきます。 こんな式ですね。ミンコフスキー和（Minkowski sum）などの話しも出てき てついに頭が飽和状態になってきます。 把持の力学の話しでも、物体系からハンド系、世界系へと話が広がって いきます。なかなかついていくのがしんどくなって行きまっす。ただし、 ロボットハンドによる物体操作や操りそして組立は、これからの産業界を はじめ様々な分野で重要な技術となるでしょう。その基礎となる把持の力 学は重要な理論であると思っています。 本解説では、私の誤解や間違いが多々あると思いますが、この把持の力 学のほんの触りを説明をしていこうと思います。まずは各書籍で若干異な る座標系の表記方法の違いから説明することから始めます。 3

1．前説：座標系の表記方法の違い 4 座標系の中で位置などを表すことは最も基本的なことです。ところが、ロボティクスの教科書において、 この座標系の表記方法は、時代や考え方の違いにより若干異なります。そのため、読者が横断的に学ぼう とすると、その記述の違いにより戸惑うことがあります。私もその一人でした。そこで代表的な以下の三 つの著書による記述方法の違いをまとめてみました。なお、この章はスキップしても問題はありません。 １）Craig：古典的名著です。記述が丁寧で初学者には入りやすい。私はこの書籍で昔学びました。 J.J. Craig Introduction to Robotics, 3rd edition, Pearson Education, Inc., 2005 (Frist edition 1986) <PDF>http://mathdep.ifmo.ru/wp-content/uploads/2018/10/John-J.Craig-Introduction-to-Robotics-Mechanics-and-Control-3rdedition-Pearson-Education-Inc.-2005.pdf ２）Murray：視点は古典的ですが、数学は現代的です。screwsやtwistsの概念を導入し、同次変換との 関係を記述しています。Lynchより記述がなじみやすい。Craig→Murray→Lynchへと時代の推移を感じま す。 Richard M. Murray,Zexiang Li,S. Shankar Sastry,A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation CRC Press, 1994 <PDF>http://www.cse.lehigh.edu/~trink/Courses/RoboticsII/reading/murray-li-sastry-94-complete.pdf ３）Lynch：新しい時代のロボティクス入門書です。ロボティクスの動作は曲面（非ユークリッド幾何 学）であることから始まります。古典的なscrews理論の現代的な幾何学的解釈として剛体運動の指数関 数的記述があります。古典的な用語はできるだけそのままに、直線速度と角速度を6次元のtwists （spatial veloscityともいう）として統一的に記述し、3次元の力とモーメントを6次元のwrench （spatial forceともいう）として同様に記述するなど、screws理論の線形代数的構造を詳しく説明して います。順序だてた記述なので大変ですが独学でも学習可能です。また講義ビデオもあります。 Kevin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press,2017 <PDF>http://hades.mech.northwestern.edu/images/2/25/MR-v2.pdf 各書籍がpdfでネットから無料でDownLoadできるのは感激です。 表示したpdfのURLは2022年11月の情報です

• http://mathdep.ifmo.ru/wp-content/uploads/2018/10/John-J.Craig-Introduction-to-Robotics-Mechanics-and-Control-3rd-edition-Pearson-Education-Inc.-2005.pdf
• http://www.cse.lehigh.edu/~trink/Courses/RoboticsII/reading/murray-li-sastry-94-complete.pdf

座標系変換の表記方法(Craig1/3) 5 フレーム{B}で表した位置BPを、フレーム{A}で表した位置APに変換する 𝐴 𝑍መ𝐴 𝑃 𝐵 𝑋෠𝐵 {A}基準 𝐴 𝑃 {B} 𝐴 𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 𝐴 {A}基準 𝐴 {B}が対象 フレーム 回転 同次変換行列表現 (Homogeneous Transformation ) {B}基準 フレーム｛B}ORIGINの {A}で表した位置 𝑃 = 𝐵𝐴𝑇 𝐵𝑃 𝐴 𝐴 𝐵𝑅 = 0 {A}基準 𝑃 = 𝐵𝐴𝑅 𝐵𝑃 + 𝐴𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 フレーム{A}を基準とした ときフレーム｛B}の回転 𝐴 𝐵𝑅 {B}の原点 𝑌෠𝐵 𝐴 𝐵𝑇 {A}基準 {A}基準 PBORG 位置 𝑌෠𝐴 {A} 𝑋෠𝐴 𝑍መ𝐵 𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 ∈ ℝ4×4 1 𝑃 = 𝐴𝑇 𝐵𝑃 𝐵 1 1 𝐴 ex.) 𝐵 𝐴𝑇 逆変換： 𝐵 𝑃 = 1 𝐴 𝑇 𝐵𝑅 連続変換： 0 = 𝐵𝐴𝑇 −1 − 𝐵𝐴𝑅 𝑇 𝐴𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 1 𝐴 𝐶𝑇 𝐴 𝑃 = 𝐵𝑇 𝐴𝑃 𝐴 1 1 = 𝐵𝐴𝑇 𝐵𝐶𝑇 J.J. Craig Introduction to Robotics, 3rd edition, Pearson Education, Inc., 2005

座標系変換の表記方法(Craig2/3) 6 フレーム{B}で表した速度Bνを、フレーム{A}で表した速度Aν変換する 速度 剛体 𝑍መ𝐴 𝐴 𝑋෠𝐴 𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 {A} 角速度 𝜐 ∈ ℝ3 , 𝜔 ∈ ℝ3 {B} 𝑌෠𝐴 velocity transformation 𝐴 𝐵𝑇𝜈 フレーム{A}での General velocity 𝐴 歪対称行列として行列 演算とする操作 𝐴 𝜐𝐴 𝐵𝑅 = 𝐴 𝜔𝐴 0 𝐴 𝜐 𝜈= , ∈ ℝ6 𝜔 General velocity = フレーム{B}での General velocity 𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 × 𝐵𝐴𝑅 𝐴 𝐵𝑅 𝐵 𝜐𝐵 𝐵 𝜔𝐵 𝐵 𝐴𝑇𝜈 = 𝐴 𝐵𝑅 0 𝐵 𝐴𝑅 0 𝐴 𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 × 𝐵𝐴𝑅 6×6 ∈ ℝ 𝐴 𝐵𝑅 − 𝐵𝐴𝑅 𝐴𝑃𝐵𝑂𝑅𝐺 × ∈ ℝ6×6 𝐵 𝐴𝑅 歪対称行列として行列演算操作 𝐴 𝜈𝐴 = 𝐵𝐴𝑇𝜈 𝐵𝜈𝐵 0 𝑝𝑥 𝑝 = 𝑝𝑦 → 𝑃 ×= 𝑃𝑧 𝑝𝑧 −𝑝𝑦 −𝑃𝑧 0 𝑃𝑥 𝑃𝑦 −𝑃𝑥 0

座標系変換の表記方法(Craig3/3) フレーム{S}で表した力SFを、フレーム{T}で表した力TF変換する Tool frame 力 𝑊 𝑊 {T} 𝑃𝑇𝑂𝑅𝐺 General force モーメント 𝑃𝑆𝑂𝑅𝐺 𝑇 𝑃𝑆𝑂𝑅𝐺 force-moment transformation Sensor frame 歪対称行列として行 列演算とする操作 𝑇 𝐹𝑇 = 𝑇 𝑁𝑇 𝑇 𝑆𝑅 𝑇 𝑃𝑆𝑂𝑅𝐺 × 𝑇𝑆𝑅 {sensor}での general force 0 𝑇 𝑆𝑅 𝑆 𝑆 𝑇 𝑆𝑇𝑓 = 𝑇 𝑆𝑅 𝑇 𝑃𝑆𝑂𝑅𝐺 × 𝑇𝑆𝑅 ℱ𝑇 = 𝑇𝑆𝑇𝑓 𝑆ℱ𝑆 0 6×6 ∈ ℝ 𝑇 𝑆𝑅 𝐹𝑆 𝑁𝑆 速度と力のフレーム変換の関係 𝐴 𝐵𝑇𝑓 𝑇 𝐹 , ∈ ℝ6 𝑁 𝐹 ∈ ℝ3 , 𝑁 ∈ ℝ3 {S} {Tool}での general force ℱ= force-moment transformation = 𝐵𝐴𝑇𝜈𝑇 velocity transformation 7

座標系変換の表記方法(Murray1/3) 8 フレーム{B}で表した位置qbを、フレーム{A}で表した位置qaに変換する {S}* 𝑞 𝑧 慣性系 位置 𝑞𝑏 𝑧 𝑞𝑎 𝑦 回転 𝑝𝑎𝑏 {A}基準 𝑅𝑎𝑏 {A}基準 {B}の原点 {B}が対象 フレーム {B} 𝑝𝑎𝑏 {A} 𝑥 𝑥 𝑦 𝑔 𝑞 = 𝑝 + 𝑅𝑞 ある点に対する剛体 変換の作用を表す 𝑔𝑎𝑏 𝑔𝑎𝑏 = 𝑝𝑎𝑏 , 𝑅𝑎𝑏 {A}フレームに対する{B} フレームの配置を指定 *) we reserve the word spatial to mean “relative to a fixed (inertial) coordinate frame.” フレーム{A}で表 した点ｑの位置 フレーム{B}で表 した点ｑの位置 𝑞𝑎 = 𝑝𝑎𝑏 + 𝑅𝑎𝑏 𝑞𝑏 フレーム｛B}ORIGIN の{A}で表した位置 フレーム{A}を基準とした ときフレーム｛B}の回転 𝑞𝑎 = 𝑔𝑎𝑏 𝑞𝑏 同次変換行列表現 (Homogeneous Transformation ) 𝑞ത𝑎 = 𝑞𝑎 𝑅 = 𝑎𝑏 1 0 𝑅 𝑔ҧ = 0 𝑝 1 𝑝𝑎𝑏 1 𝑔ҧ −1 𝑞𝑏 ≡ 𝑔ҧ𝑎𝑏 𝑞ത𝑏 1 𝑇 𝑅 = 0 −𝑅𝑝 1 Murray, et.al., A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation,1994

座標系変換の表記方法(Murray2/3) 速度のフレーム変換（Aは慣性系フレームSとする） {S}* 𝑞 𝑧 慣性系 速度 𝑦 𝑠 𝑉𝑎𝑏 spatial velocity 𝑧 剛体 𝑝𝑎𝑏 𝑥 𝜐 ∈ ℝ3 , 𝜔 ∈ ℝ3 𝑥 𝑦 {A} 角速度 {B} ある座標系から別の座標系にtwists変換する6×6行 列は、随伴変換（Adjoint transformation） と呼ばれる 𝑔𝑎𝑏 𝐴𝑑𝑔 = spatial velocity 歪対称行列として行 列演算とする操作 𝑠 𝜐𝑎𝑏 𝑅𝑎𝑏 = 𝑠 0 𝜔𝑎𝑏 𝑠 𝜐𝑎𝑏 = 𝑠 ∈ ℝ6 𝜔𝑎𝑏 body velocity 𝑏 𝜐𝑎𝑏 𝑝ෞ 𝑎𝑏 𝑅𝑎𝑏 𝑏 𝑅𝑎𝑏 𝜔𝑎𝑏 𝑠 𝑏 𝑉𝑎𝑏 = 𝐴𝑑𝑔𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏 adjoint transformation A𝑑𝑔−1 𝑅 0 𝑅𝑇 = 0 𝑝𝑅 Ƹ ∈ ℝ6×6 𝑅 −𝑅𝑇 𝑝Ƹ = 𝐴𝑑𝑔−1 𝑇 𝑅 歪対称行列として行列演算操作 0 𝑝𝑥 𝑝 = 𝑝𝑦 → 𝑃෠ = 𝑃𝑧 𝑝𝑧 −𝑝𝑦 −𝑃𝑧 0 𝑃𝑥 𝑃𝑦 −𝑃𝑥 0 9

座標系変換の表記方法(Murray3/3) 10 力のフレーム変換（二つのフレーム間の関係は静的とする） pure force 𝑥 force/moment pair as a 𝐹 𝑧 𝑧 𝑥 𝑝𝑏𝑐 {C} {B} wrench 𝑦 (generalized force) pure moment 𝑓 ∈ ℝ6 𝜏 𝑓 ∈ ℝ3 , 𝜏 ∈ ℝ3 𝑦 {B}は剛体に設置 wrench in the {C} frame 𝐹= {A} 歪対称行列として行 列演算とする操作 𝑇 𝑅𝑏𝑐 𝑓𝑐 = 𝑇 𝜏𝑐 −𝑅𝑏𝑐 𝑝ෞ 𝑏𝑐 wrench in the {B} frame 0 𝑓𝑏 𝑇 𝜏𝑏 𝑅𝑏𝑐 𝐹𝑐 = 𝐴𝑑𝑔𝑇𝑏𝑐 𝐹𝑏 ある座標系から別の座標系にtwists変換する6×6行 列は、随伴変換（Adjoint transformation） と呼ばれる 𝐴𝑑𝑔 = A𝑑𝑔−1 𝑅 0 𝑝𝑅 Ƹ ∈ ℝ6×6 𝑅 𝑅𝑇 = 0 −𝑅𝑇 𝑝Ƹ = 𝐴𝑑𝑔−1 𝑇 𝑅 歪対称行列として行列演算操作 0 𝑝𝑥 𝑝 = 𝑝𝑦 → 𝑃෠ = 𝑃𝑧 𝑝𝑧 −𝑝𝑦 −𝑃𝑧 0 𝑃𝑥 𝑃𝑦 −𝑃𝑥 0

座標系変換の表記方法(Lynch 1/3) 11 フレーム{b}で表した位置pbを、フレーム{s}で表した位置psに変換する 𝑧 𝑧 𝑝𝑠 𝑝𝑠 𝑦 𝑝𝑏 {b} 𝑝 𝑦 𝑥 回転 位置 𝑅𝑠𝑏 {s}基準 {s}基準 𝑥 {s} {b}が対象 フレーム 同次変換行列で記述する Lynchでは同次変換行列で話を進める フレーム{A}で表 した点ｑの位置 𝑝𝑠 𝑅 = 𝑠𝑏 1 0 フレーム{s}を基準とした ときフレーム｛b}の回転 フレーム{B}で表 した点ｑの位置 𝑝 𝑝𝑏 1 1 フレーム｛b}ORIGINの {s}で表した位置 (Homogeneous Transformation Matrices) 𝑅 𝑇= 0 𝑇 −1 ex) 𝑅 𝑇𝑠𝑏 = 𝑠𝑏 0 𝑃 1 𝑅 = 0 𝑃 1 𝑇𝑏𝑠 = −1 𝑇𝑠𝑏 ex) 𝑝𝑠 𝑝 = 𝑇𝑠𝑏 𝑏 1 1 −1 𝑇 𝑅 = 0 𝑇 𝑅 𝑠𝑏 = 0 𝑝 1 −𝑅𝑇 𝑝 1 𝑇 −𝑅𝑠𝑏 𝑝 1 K M. Lynch , F C. Park, Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press,2017

座標系変換の表記方法(Lynch 2/3) 12 フレーム{b}で表した速度νbを、フレーム{s}で表した速度νsに変換する 𝑧 角速度 剛体 𝑝ሶ 𝑧 𝑦 {b} 𝑝 Spatial velocity in the space frame または 𝜔𝑠 𝜈𝑠 = 𝜐 ∈ ℝ6 𝑠 spatial twist 速度 𝑥 𝜔 ∈ ℝ3 , 𝜐 ∈ ℝ3 𝑦 𝑥 Adjoint transformation {s} 歪対称行列 spatial twist 𝜔𝑠 𝜐𝑠 = 𝑅𝑠𝑏 𝑝 𝑅𝑠𝑏 𝐴𝑑𝑇 = body twist 0 𝑅𝑠𝑏 𝜔𝑏 𝜐𝑏 𝐴𝑑 𝑇 𝑇 −1 𝜈𝑠 = 𝐴𝑑 𝑇𝑠𝑏 𝜈𝑏 adjoint transformation 𝑅 = 0 𝑅 𝑝𝑅 −1 𝑝 1 = 𝐴𝑑 𝑇 −1 −1 ex) 𝑇 𝜔𝑏 𝑅𝑏𝑠 𝜈𝑏 = 𝜐 = 𝑇 𝑏 −𝑅𝑏𝑠 𝑝 0 ∈ ℝ6×6 𝑅 𝑇 𝑅 = 0 −𝑅𝑇 𝑝 1 歪対称行列3x3 0 𝜔𝑠 𝑇 𝜐𝑠 = 𝐴𝑑 𝑇𝑏𝑠 𝜈𝑠 𝑅𝑏𝑠

座標系変換の表記方法(Lynch 3/3) フレーム{b}で表した力Fbを、フレーム{s}で表した力Fsに変換する {b} 𝑟𝑏 𝑝𝑏𝑎 𝑓 剛体 Spatial force in the {a} frame または wrench トルク 𝑚𝑎 ℱ𝑎 = 𝑓 ∋ ℝ6 𝑎 力 in the {a} frame {a} 𝑟𝑎 𝑚𝑎 = 𝑟𝑎 × 𝑓𝑎 m∈ ℝ3 , 𝑓 ∈ ℝ3 (torque or moment) Adjoint transformation wrench in the {a} frame 𝑇 𝑅𝑏𝑎 ℱ𝑎 = 0 歪対称行列 wrench in the {b} frame 𝑇 −𝑅𝑏𝑎 𝑝𝑏𝑎 ℱ𝑏 𝑇 𝑅𝑏𝑎 𝑇 ℱ𝑎 = 𝐴𝑑 𝑇𝑏𝑎 ℱ𝑏 𝑅 𝑝𝑅 𝐴𝑑𝑇 = 𝐴𝑑 𝑇 𝑇 −1 𝑅 = 0 ex) 𝑇 𝑅𝑎𝑏 ℱ𝑏 = 0 −1 𝑝 1 0 ∋ ℝ6×6 𝑅 = 𝐴𝑑 𝑇 −1 −1 𝑇 𝑅 = 0 −𝑅𝑇 𝑝 1 歪対称行列3x3 𝑇 −𝑅𝑎𝑏 𝑝𝑎𝑏 𝑇 ℱ = 𝐴𝑑 𝑎 𝑇𝑎𝑏 ℱ𝑎 𝑇 𝑅𝑎𝑏 13

コメント 14 ロボティクスでの表記方式は過渡期にあるようです。このため、 本解説での統一的な記述には筆者の能力不足です。そのため少々混乱 した記述となりそうです。その点ご容赦ください。実は代表的な3つの 書籍の記述法を事前に説明したのは、その意味もあります。 著者のJJ. Craig氏とは、ほんの少しだけ関係があります。それは1986年ごろ 私がstanford大学にvisiting scholarで滞在したとき研究室で同室となりま した。丁度彼がPhd.を取得したころで短期間での同室でした。ジョークで しょうが本を書くのが趣味と言っていました。また日本語を少し勉強中と 言っていました。優秀な人は違うなと思ったことは覚えています。 この記号がある スライドは読み 飛ばしてもかま いません 𝑊 𝑊 {T} 𝑃𝑇𝑂𝑅𝐺 Tool frame 𝑃𝑆𝑂𝑅𝐺 John J. Craig, Introduction to Robotics {S} Sensor frame

2. Wrenchとはなに？ 15 把持の力学で”wrench”という用語が出てくる トルク 𝜏 ① 初めは工具のレンチ？かと思うがどうも違うようだ ② 力とトルクのまとまりを表す専門用語であるようだ ③ 工具のレンチの “力とトルク”をセットで対象に及ぼ すイメージから来たのかと思う（←個人的想像） 力 𝑓 本解説では下記のような表記で、 “力とトルク” のセットが出てきます 工具のレンチ 𝓌= 𝑓 ∈ ℝ6 𝜏 ℱ= 𝑓 ∈ ℝ6 𝜏 force : 𝑓 ∈ ℝ3 torque : 𝜏 ∈ ℝ3

wrenchとはなにか 16 Wrench：物体に作用する”力とトルク”の6次元ベクトルのこと 𝑓 例） 𝑦ො 𝐴 力 𝑦ො𝐵 𝑙 {A} 𝑥ො𝐴 {B} 𝑥ො𝐵 𝑓 𝓌= ∈ ℝ6 𝜏 トルク 片持ち梁の一端に力ｆが加わっている {A}の座標系で表したwrench 0 −𝑓 0 𝐹𝐴 = 0 0 −𝑙 × 𝑓 𝑓≥0 {B}の座標系で表したwrench 0 −𝑓 0 𝐹𝐵 = 0 0 0 𝑓≥0

座標系の違いによるwrench 17 それぞれの座標系で記述式の内容が変化する S3 これは座標系が異なるので当たり前のこと です。ただし、この座標変換のややこしい 変換行列が悩ましいことになります が・・・ {b} S1 Si {ci} {h} {s} 1. 接触点座標系 ➢ {ci} 指先iの接触点 2. 物体座標系 ➢ {b} 把持対象物基準（通常は 質量中心COM） 3. ハンド or 基準系 ➢ ｛h} or {s} これからは、1.→２.→３.の順序で 示します。

wrenchとは（その３つの空間） 18 把持の力学では、”hand”, ”接触点”, “物体”の３つの場面での記述がある Wrenchは各空間での「力とトルク」を記述するときに現れる Hand Forces/ Torques space 方程式： T 𝑱𝑻𝒉 𝑮 f joint Contact point ハンド関節でのトルク 指先接触での力/トルク S3 Object Contact 𝔀= 𝑭 𝝉 物体での力/トルク (wrench) 点接触 𝓌3 S1 点接触 S2 摩擦あり 𝓌4 𝓌1 CoM ソフト接触 摩擦とねじり トルクあり 𝓌2

３. 接触系でのwrench 19 把持の力学で取り扱う接触点の状態 Frictionless point contact Point contact with friction 𝑓𝑛 Soft-finger contact 𝑓𝑛 𝑓𝑛 Friction cone 𝑓𝑡𝑦 𝑓𝑡𝑥 点接触 𝑓𝑛 ≥ 0 点接触：摩擦あり 𝑓𝑛 ≥ 0 2 𝑓𝑡𝑥2 + 𝑓𝑡𝑦 ≤ 𝜇𝑓𝑛 m: coefficient of friction 𝑚𝑧 Friction cone 𝑓𝑡𝑦 𝑓𝑡𝑥 面接触：摩擦とねじりトルクあり 𝑓𝑛 ≥ 0 2 𝑓𝑡𝑥2 + 𝑓𝑡𝑦 ≤ 𝜇𝑓𝑛 𝑚𝑧 ≤ 𝛾𝑓𝑛 g: coefficient of torsional friction

①点接触のwrench 20 摩擦のない点接触の場合、力は物体表面に垂直な方向のみとなり、 wrenchは以下のようになる 𝑓𝑛 0 0 𝑓 𝐹𝐶𝑖 = 𝑛 0 0 0 ci ciは接触点i Frictionless point contact 𝑓𝑛, ≥ 0 ｛接触点を原点にした場合｝ 例えば、この様に記述される ci 𝑓𝐶𝑖 𝑓𝑛 ≥ 0 0 0 1 𝐹𝐶𝑖 = 𝑓 0 𝐶𝑖 0 0 𝑓𝑐𝑖 = 𝑓𝑛 𝑓𝑛, ≥ 0

②点接触で摩擦ありのwrench 21 摩擦のある点接触の場合、力は法線および接線方向の3成分となり、 wrenchは以下のようになる 𝑓 𝑛 𝑓𝑡𝑥 0 𝐹𝐶𝑖 = 0 0 0 0 Friction cone 𝑓𝑡𝑦 𝑓𝑡𝑥 Point contact with friction 0 𝑓𝑡𝑦 0 0 0 0 0 0 𝑓𝑛 0 0 0 𝑓𝑛, ≥ 0 例えば、この様に記述される（摩擦円錐は多角形で近似する。後述） ci 𝑓𝐶𝑖 𝑓𝑛 ≥ 0 2 𝑓𝑡𝑥2 + 𝑓𝑡𝑦 ≤ 𝜇𝑓𝑛 1 0 𝐹𝐶𝑖 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 𝑓 0 𝐶𝑖 0 0 𝑓𝑐𝑖 = 𝑓𝑡𝑥 , 𝑓𝑡𝑦 , 𝑓𝑛 T 𝑓𝑛, ≥ 0

③Soft-finger contactでのwrench 22 Soft-finger contactの場合、力は法線および接線方向の3成分とトルク が加わり、wrenchは以下のようになる 𝑓𝑛 𝑓𝑡𝑥 0 𝐹𝐶𝑖 = 0 0 0 0 Friction cone 𝑚𝑧 𝑓𝑡𝑦 𝑓𝑡𝑥 Soft-finger contact 0 𝑓𝑡𝑦 0 0 0 0 0 0 𝑓𝑛 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑚𝑧 𝑓𝑛, ≥ 0 0 0 0 𝑓 0 𝐶𝑖 0 1 𝑓𝑛, ≥ 0 例えば、この様に記述される ci 𝑚𝑧 𝑓𝐶𝑖 𝑓𝑛 ≥ 0 2 𝑓𝑡𝑥2 + 𝑓𝑡𝑦 ≤ 𝜇𝑓𝑛 𝑚𝑧 ≤ 𝛾𝑓𝑛 1 0 𝐹𝐶𝑖 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 𝑓𝑐𝑖 = 𝑓𝑡𝑥 , 𝑓𝑡𝑦 , 𝑓𝑛 , 𝑚𝑧 T

Wrenchの式(摩擦円錐の線形化) 摩擦円錐を多角形円錐で近似することで線形化を行う 摩擦があると接線方向力が発生できる。その限界を表すのが摩擦円錐である。把持限界など で多指による把持力とその組合せを計算する場合、摩擦円錐を線形近似しておくと計算がし やすい。 𝒇𝒊 𝑓𝑖,𝑗 𝑓𝑖,𝑚 𝑓𝑖,1 （１）fiは、fi,j（単位ベクトル）の線形結合で表す 𝑚 𝒇𝒊 = ෍ 𝛼𝑖,𝑗 𝑓𝑖,𝑗 𝑚 ෍ 𝑗=1 𝑗=1 𝛼𝑖,𝑗 ≤ 1 , 𝛼𝑖,𝑗 ≥ 0 𝑓𝑖,𝑗 ：単位ベクトル （２）すると多角形円錐モデルで線形化した摩擦円によるWrenchは 次のようになる 𝑚 finger i 𝓌𝒊 = ෍ 𝛼𝑖,𝑗 𝓌𝑖,𝑗 𝓌𝒊,𝒋 = 𝑗=1 C. Ferrari and J. F. Canny, “Planning optimal grasps.,” in ICRA, 1992, vol. 3, no. 4, p. 6. 𝑓𝑖,𝑗 𝜆 𝑑𝑖 × 𝑓𝑖,𝑗 𝑚 ෍ 𝑗=1 𝛼𝑖,𝑗 ≤ 1 , 𝛼𝑖,𝑗 ≥ 0 23

４．物体系でのwrench ここでは物体に加わる”力とトルク”について見ていきます 物体系{b}の原点をCOMとします。左図のよう にfinger i によるwrenchは次のようになります。 𝒇𝒊 𝓌𝒊 = COM {b} Object 𝑑𝑖 finger i 𝑓𝑖 𝜆 𝑑𝑖 × 𝑓𝑖 ∈ ℝ6 force : 𝑓 ∈ ℝ3 torque : 𝜏 ∈ ℝ3 λは任意数で通常１でも良い。元々力とトルクは次 元が異なり互いに独立のため。 この時、基準点を物体の重心（COM)とする。すると 重力によるトルクがゼロとなる。 24

G (wrench basis matrix) 25 把持の平衡などでは物体に加わる“力とトルク”の総和が問題になる。すなわち各接 触点からの力とトルクを物体の基準点からみた値に変換する必要がある。この時の 変換行列をG (wrench basis matrix)という ℱ𝑓𝑖 {ci} ℱ𝑏 {b} {ci}:接触点iでの力とトルク 𝑓 ℱ𝑓𝑖 = 𝜏𝑓𝑖 𝑓𝑖 {b}:物体基準系での力とトルク ℱ𝑏 = 𝑓𝑏 𝜏𝑏 S3 接触点(ci}から物体基準{b}への変換行列を Gi（wrench basis matrix）とすると S1 {b} S2 ℱ𝑏 = 𝐺𝑖 ℱ𝑓𝑖 すると、k本の指による物体に加わる力とトルクの 総和は次のようになる 𝑘 {h} ℱ𝑏 = ෍ 𝐺𝑖 ℱ𝑓𝑖 𝑖=1

接触点から物体系への座標変換 26 G (wrench basis matrix)について ℱ𝑐 接触点での力とトルク： 𝑓 ℱ𝑐 = 𝑐 ∈ ℝ6 𝜏𝑐 物体基準系での力とトルク： ℱ𝑏 = ℱ𝑏 𝑓𝑏 ∈ ℝ6 𝜏𝑏 {c}から {b}への変換行列をG（wrench basis matrix）とすると、 {b} ここで、フレーム｛c}から{b}の回転行列の転置行列 𝑇 𝑅𝑐𝑏 ℱ𝑏 = 𝐺ℱ𝑐 0 𝑇 𝑅𝑐𝑏 ∈ ℝ6×6 G(wrench basis matrix) *)Murray,1994 𝑟11 = 𝑟12 𝑟13 𝑟21 𝑟22 𝑟23 𝑟31 𝑟32 𝑟33 フレーム｛c}から{b}の併進移動ベクトルお よびその歪対称行列 G（wrench basis matrix)*は次のようになる RTcb 𝐺= 𝑇 −𝑅𝑐𝑏 𝑝ෞ 𝑐𝑏 {c} 𝑝𝑐𝑏 𝑝𝑐𝑏 𝑥𝑐𝑏 = 𝑦𝑐𝑏 𝑧𝑐𝑏 0 𝑧𝑐𝑏 𝑝ෞ 𝑐𝑏 = −𝑦𝑐𝑏 −𝑧𝑐𝑏 0 𝑥𝑐𝑏 𝑦𝑐𝑏 −𝑥𝑐𝑏 0

練習問題：図で、力センサフレームでの力とトルクを計算せよ(Murrayの表記） ハンドでリンゴを把持している。リングの重量は ｍとする。またハンドの重さは無視する 𝐿 𝑦ො𝑎 𝑦ො𝑓 𝑇 𝑅𝑎𝑓 𝑥ො𝑎 𝑔 𝑥ො𝑓 𝑓𝑎 = 𝜏𝑎 0 −𝑚𝑔 0 0 0 0 （歪対称行列） −𝐿 = 0 0 𝑇 −𝑅𝑎𝑓 𝑝ෞ 𝑎𝑓 {a}系でのwrenchは下記となる 0 𝑝ෞ 𝑎𝑓 = 0 0 1 0 0 0 =− 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −𝐿 0 0 −𝐿 0 𝐿 0 0 0 0 𝐿 = 0 0 0 0 𝐿 0 −𝐿 0 以上を式に代入すると、センサフレ－ムで の値は以下のようになる {a}から{f}への変換は次のようになる ℱ𝑓 = 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 𝑝𝑎𝑓 force sensor ℱ𝑎 = この時、回転行列、並進行列およびその 歪対称行列は次のようになる 𝑇 𝑅𝑎𝑓 0 𝑇 −𝑅𝑎𝑓 𝑝ෞ 𝑎𝑓 𝑇 𝑅𝑎𝑓 ℱ𝑎 G(wrench basis matrix) 1 0 0 0 1 0 ℱ𝑓 = 0 0 1 0 0 0 0 0 −𝐿 0 𝐿 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −𝑚𝑔 0 −𝑚𝑔 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 −𝑚𝑔𝐿 1 0 27

座標変換(Lynchの表記） 接触点での力とトルク： ℱ𝑐 = 𝑚𝑐 6 ∈ ℝ 𝑓𝑐 ℱ𝑓𝑖 𝑚𝑏 ∈ ℝ6 物体基準系での力とトルク： ℱ𝑏 = 𝑓 𝑏 {c}から {B}への変換行列をG（wrench basis matrix）とする ここで、フレーム｛c}から{b}の回転行列の転置行列 𝑇 𝑅𝑐𝑏 G（wrench basis matrix）は次のようになる 𝑟11 = 𝑟12 𝑟13 𝑟21 𝑟22 𝑟23 𝑟31 𝑟32 𝑟33 フレーム｛c}から{b}の併進移動ベクトルお よびその歪対称行列 ∈ ℝ6×6 ←多分 G(wrench basis matrix) *)Lynch,2017 {ci} {B} ℱ𝑏 = 𝐺ℱ𝑐 𝑇 −𝑅𝑐𝑏 𝑝𝑐𝑏 𝑇 𝑅𝑐𝑏 𝑝𝑓𝐵 ℱ𝐵 （Murrayとは力とモーメントの位置が逆となる） 𝑇 𝑅𝑐𝑏 𝐺= 0 28 𝑝𝑐𝑏 𝑥𝑐𝑏 = 𝑦𝑐𝑏 𝑧𝑐𝑏 𝒑𝒄𝒃 0 = 𝑧𝑐𝑏 −𝑦𝑐𝑏 −𝑧𝑐𝑏 0 𝑥𝑐𝑏 𝑦𝑐𝑏 −𝑥𝑐𝑏 0

練習問題：図で、力センサフレームでの力とトルクを計算せよ（Lynchの表記） ハンドでリンゴを把持している。リングの重量は ｍとする。またハンドの重さは無視する 𝐿 𝑦ො𝑎 𝑦ො𝑓 この時、回転行列、並進行列およびその歪 対称行列は次のようになる 𝑇 𝑅𝑎𝑓 𝑥ො𝑎 𝑔 𝑥ො𝑓 𝑝𝑎𝑓 force sensor 𝑇 −𝑅𝑎𝑓 {a}系でのwrenchは下記となる ℱ𝑎 = 𝑚𝑎 𝑓𝑎 = 0 0 0 0 −𝑚𝑔 0 {a}から{b}への変換は次のようになる 𝑇 𝑅𝑎𝑓 𝑇 −𝑅𝑎𝑓 𝑝𝑎𝑓 0 𝑇 𝑅𝑎𝑓 −𝐿 = 0 0 𝑝𝑎𝑓 （歪対称行列） 𝑝𝑎𝑓 1 0 0 0 =− 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0 −𝐿 0 0 −𝐿 0 𝐿 0 0 0 0 𝐿 = 0 0 0 0 𝐿 0 −𝐿 0 以上を式に代入すると、センサフレ－ムで の値は以下のようになる （Murrayとは力とモーメントの位置が逆となる） ℱ𝑓 = 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 ℱ𝑎 ←多分 1 0 ℱ𝑓 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝐿 0 = −𝑚𝑔𝐿 1 0 𝐿 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 −𝑚𝑔 −𝑚𝑔 0 0 0 1 0 0 Murrayのとは入れ替っただけ（当たり前だが） 29

つづく まずはwrenchの基礎について解説しました。 先に示した著書の記述は若干違いますが本質 的な相違はないことがない事が分かります。 引き続き解説を続ける予定ですが、残念なが ら著者の力量不足により、その更新のペース は遅いものになると思います。 30