剛体の運動方程式①ベクトルの微分

ベクトルの微分 剛体の運動⽅程式①

剛体の運動⽅程式 この世界の運動は、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸の３つの座標 軸それぞれに並進運動と回転運動合わせて６つの運動 で表現する。 そのため６本の剛体の運動⽅程式を⽤いて表される。 運動⽅程式を⽴て計算することで、あらゆる物体の 運動は事前に推定することができ、航空機をはじめ、 ⾞、電⾞、⼈⼯衛星、宇宙船等多くの「もの」の開発 に⽣かされている。 ※剛体とは形の変わらない物体のこと

剛体の運動⽅程式の形

剛体の運動⽅程式 並進運動 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡

剛体の運動⽅程式 並進運動 運動量ベクトル 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 物体に作⽤する ⼒のベクトルの総和 ⾓運動量ベクトル 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 物体に作⽤する ⼒のモーメントベクトルの総和

剛体の運動⽅程式 並進運動 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 剛体の運動⽅程式とは、運動量 あるいは⾓運動量の時間微分が ⼒の総和あるいはモーメントの 総和に等しいという事実を表し ている。

剛体の運動⽅程式 並進運動 ベクトルの 微分が必要 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 ベクトルの 微分が必要 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 剛体の運動⽅程式とは、運動量 あるいは⾓運動量の時間微分が ⼒の総和あるいはモーメントの 総和に等しいという事実を表し ている。

ベクトル

ベクトル ベクトルの成分表⽰ 𝐴! 𝑨 = 𝐴" 𝐴# ｚ 𝐴# 𝑨 = 𝐴! 𝑨 𝐴" ｙ ｘ 𝐴! 𝐴" 𝐴# $

ベクトル ベクトルの成分表⽰ 太字 ｚ 𝐴# 𝐴! 𝑨 = 𝐴" 𝐴# 𝑨 = 𝐴! 𝐴" ｙ 𝐴! 縦書き 縦ベクトル 𝐴" 𝐴# $ 転置 𝑨 ｘ 細字 横書き

ベクトル ベクトルの成分表⽰ 𝐴! 𝑨 = 𝐴" 𝐴# ｚ 𝐴# 𝒌 𝑨 𝒊 ｘ 𝐴! 𝑨 = 𝐴! 𝒋 𝐴" 𝐴# $ 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝐴" ｙ 単位ベクトル 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌

ベクトルの外積

外積 𝑨 = 𝑎! 𝑩 = 𝑏! 𝑎" 𝑎# 𝑏" 𝑏# 𝒊 𝑨×𝑩 = 𝑎! 𝑏! 𝒋 𝑎" 𝑏" 𝒌 𝑎# 𝑏# = (𝑎" 𝑏# − 𝑎# 𝑏" )𝒊 + (𝑎# 𝑏! − 𝑎! 𝑏# )𝒋 + (𝑎! 𝑏" − 𝑎" 𝑏! )𝒌

外積 𝑨 = 𝑎! 𝑩 = 𝑏! 𝑎" 𝑎# 𝑏" 𝑏# 𝒊 𝑨×𝑩 = 𝑎! 𝑏! 𝒋 𝑎" 𝑏" 𝒌 𝑎# 𝑏# = (𝑎" 𝑏# − 𝑎# 𝑏" )𝒊 + (𝑎# 𝑏! − 𝑎! 𝑏# )𝒋 + (𝑎! 𝑏" − 𝑎" 𝑏! )𝒌

外積 𝑨 = 𝑎! 𝑩 = 𝑏! 𝑎" 𝑎# 𝑏" 𝑏# 𝒊 𝑨×𝑩 = 𝑎! 𝑏! 𝒋 𝑎" 𝑏" 𝒌 𝑎# 𝑏# = (𝑎" 𝑏# − 𝑎# 𝑏" )𝒊 + (𝑎# 𝑏! − 𝑎! 𝑏# )𝒋 + (𝑎! 𝑏" − 𝑎" 𝑏! )𝒌

外積 𝑨 = 𝑎! 𝑩 = 𝑏! 𝑎" 𝑎# 𝑏" 𝑏# 𝑖 𝑨×𝑩 = 𝑎! 𝑏! 𝑗 𝑎" 𝑏" y 𝐵 𝐴 𝐴×𝐵 x z 𝑘 𝑎# 𝑏# 外積もベクトル = (𝑎" 𝑏# − 𝑎# 𝑏" )𝒊 + (𝑎# 𝑏! − 𝑎! 𝑏# )𝒋 + (𝑎! 𝑏" − 𝑎" 𝑏! )𝒌 ｘ成分 ｙ成分 ｚ成分

外積の⼤きさは ⾯積に等しい 外積 𝑨 = 𝑎! 𝑩 = 𝑏! 𝑎" 𝑎# 𝑏" 𝑏# 𝑖 𝑨×𝑩 = 𝑎! 𝑏! 𝑗 𝑎" 𝑏" y 𝐵 𝐴 𝐴×𝐵 x z 𝑘 𝑎# 𝑏# 外積もベクトル = (𝑎" 𝑏# − 𝑎# 𝑏" )𝒊 + (𝑎# 𝑏! − 𝑎! 𝑏# )𝒋 + (𝑎! 𝑏" − 𝑎" 𝑏! )𝒌 ｘ成分 ｙ成分 ｚ成分

モーメントと⾓運動量

モーメントの定義 外積 𝑨×𝑩 をBのモーメントと呼ぶ y 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 x z

運動量 質量 𝑚 速度 𝑽 = 𝑢 運動量 𝑚𝑽 𝑣 𝑤 !

⾓運動量 運動量 𝑚𝑽 位置ベクトル 𝒓 y 𝑚𝑽 𝑚 𝒓 𝒓×𝑚𝑽 x 運動量のモーメント 𝒓×𝑚𝑽 運動量のモーメントを⾓運動量と呼ぶ z

回転する座標系に定義された ベクトルの微分

回転する座標系とベクトル 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌 ｚ 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 座標系の回転⾓速度を表すベクトル 𝒊 𝒋𝑞 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴" ｙ

ベクトルの微分 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌 ｚ 座標系の回転⾓速度を表すベクトル 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝒊 ベクトルの微分 𝒋 𝑞 𝐴" ｙ 𝑑𝑨 𝑑𝐴! 𝑑𝒊 = 𝒊 + 𝐴! 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴" 𝑑𝒋 + 𝒋 + 𝐴" 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴# 𝑑𝒌 + 𝒌 + 𝐴# 𝑑𝑡 𝑑𝑡 掛け算の 微分を適⽤

ベクトルの微分 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌 ｚ 座標系の回転⾓速度を表すベクトル 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝒊 ベクトルの微分 𝒋 𝑞 𝐴" ｙ 𝐴! 𝐴! , 𝐴" , 𝐴# の時間の経過 による変位 𝑑𝑨 𝑑𝐴! 𝑑𝒊 = 𝒊 + 𝐴! 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴" 𝑑𝒋 + 𝒋 + 𝐴" 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴# 𝑑𝒌 + 𝒌 + 𝐴# 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝒊, 𝒋, 𝒌 の時間微 分は判れば すっきりする 部分

回転する座標系の 単位ベクトルの微分

回転座標系の 単位ベクトルの微分 ｚ 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝐴" ｙ 𝒊(𝑡)

回転座標系の 単位ベクトルの微分 ｚ 𝑟ℎ𝒋 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒊(𝑡) 𝒋𝑞 𝐴" ｙ 𝒊(𝑡 + ℎ)

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝐴" ｙ 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ)

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 ｘ 𝐴! 𝒊(𝑡 + ℎ) 𝒌 𝑨 𝑝 𝑟ℎ𝒋 𝒊 𝒋𝑞 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴" ｙ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 微分の定義に基づいて単位ベクトルの微分について考える 𝐴" ｙ 𝑑𝒊 = 𝑑𝑡

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 微分の定義に基づいて単位ベクトルの微分について考える 𝐴" ｙ 𝑑𝒊 𝒊 𝑡 + ℎ − 𝒊(𝑡) = lim 𝑑𝑡 #→% ℎ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴" ｙ 𝑑𝒊 𝒊 𝑡 + ℎ − 𝒊(𝑡) = lim 𝑑𝑡 #→% ℎ 𝒊 𝑡 + 𝑟ℎ𝒋 − 𝑞ℎ𝒌 − 𝒊(𝑡) = lim #→% ℎ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴" ｙ 𝑑𝒊 𝒊 𝑡 + ℎ − 𝒊(𝑡) = lim 𝑑𝑡 #→% ℎ 𝒊 𝑡 + 𝑟ℎ𝒋 − 𝑞ℎ𝒌 − 𝒊(𝑡) = lim #→% ℎ 𝑟ℎ𝒋 − 𝑞ℎ𝒌 = lim = 𝑟𝒋 − 𝑞𝒌 #→% ℎ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴" ｙ 𝒊 𝑑𝒊 = 𝑟𝒋 − 𝑞𝒌 = 𝑝 𝑑𝑡 1 𝒋 𝑞 0 𝒌 𝑟 = 𝝎×𝒊 0

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ −𝑞ℎ𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴" ｙ 𝒊 𝑑𝒊 = 𝑟𝒋 − 𝑞𝒌 = 𝑝 𝑑𝑡 1 𝑑𝒋 = 𝝎×𝒋 𝑑𝑡 𝑑𝒌 = 𝝎×𝒌 𝑑𝑡 𝒋 𝑞 0 𝒌 𝑟 = 𝝎×𝒊 0

ベクトルの微分 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌 ｚ 座標系の回転速度を表すベクトル 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝒊 ベクトルの微分 𝒋 𝑞 𝐴" ｙ 𝐴! 𝐴! , 𝐴" , 𝐴# が時間で変化 すれば０ではない部分。 𝑑𝑨 𝑑𝐴! 𝑑𝒊 = 𝒊 + 𝐴! 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴" 𝑑𝒋 + 𝒋 + 𝐴" 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴# 𝑑𝒌 + 𝒌 + 𝐴# 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝒊, 𝒋, 𝒌 の時間微 分は判れば すっきりする 部分

ベクトルの微分 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌 座標系の回転速度を表すベクトル ｚ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! ベクトルの微分 𝒊 𝒋𝑞 𝐴" ｙ 𝑑𝑨 𝑑𝐴! = 𝒊 + 𝐴! 𝝎×𝒊 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴" + 𝒋 + 𝐴" 𝝎×𝒋 𝑑𝑡 𝑑𝐴# + 𝒌 + 𝐴# 𝝎×𝒌 𝑑𝑡

ベクトルの微分 単位ベクトルを⽤いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴! 𝒊 + 𝐴" 𝒋+ 𝐴# 𝒌 座標系の回転速度を表すベクトル ｚ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! ベクトルの微分 𝒊 𝒋𝑞 𝐴" ｙ 𝑑𝑨 𝑑𝐴! = 𝒊 + 𝝎×𝐴! 𝒊 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴" + 𝒋 + 𝝎×𝐴" 𝒋 𝑑𝑡 𝑑𝐴# + 𝒌 + 𝝎×𝐴# 𝒌 𝑑𝑡 𝑑𝑨 = + 𝝎×𝑨 𝑑𝑡 ,

ベクトルの微分 ベクトルの微分 ｚ 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝐴" ｙ ここで 𝑑𝑨 𝑑𝑡 & $ + 𝝎×𝑨 𝑑𝐴( 𝑑𝐴' 𝑑𝐴) = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Ȧ ' 𝒊 + Ȧ ( 𝒋 + Ȧ ) 𝒌

ベクトルの微分成分表⽰ ベクトルの微分 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ｚ 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝑨 ここで 𝑑𝑡 , $ + 𝝎×𝑨 𝑑𝐴" 𝑑𝐴! 𝑑𝐴# = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Ȧ ! 𝒊 + Ȧ " 𝒋 + Ȧ # 𝒌 𝐴" ｙ ベクトルの微分の成分表⽰ 𝐴̇ ! 𝑖 𝑑𝑨 = 𝐴̇ " + 𝑝 𝑑𝑡 𝐴! 𝐴̇ # 𝑗 𝑞 𝐴" 𝑘 𝑟 𝐴#

ベクトルの微分成分表⽰ ベクトルの微分 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ｚ 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝑨 ここで 𝑑𝑡 , $ + 𝝎×𝑨 𝑑𝐴" 𝑑𝐴! 𝑑𝐴# = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Ȧ ! 𝒊 + Ȧ " 𝒋 + Ȧ # 𝒌 𝐴" ｙ ベクトルの微分の成分表⽰ 𝐴̇ ! 𝑞𝐴# − 𝑟𝐴" 𝑑𝑨 = 𝐴̇ " + 𝑟𝐴! − 𝑝𝐴# 𝑑𝑡 𝑝𝐴" − 𝑞𝐴! 𝐴̇ #

ベクトルの微分成分表⽰ ベクトルの微分 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ｚ 𝐴# 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴! 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝑨 ここで 𝑑𝑡 , $ + 𝝎×𝑨 𝑑𝐴" 𝑑𝐴! 𝑑𝐴# = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Ȧ ! 𝒊 + Ȧ " 𝒋 + Ȧ # 𝒌 𝐴" ｙ ベクトルの微分の成分表⽰ 𝐴̇ ! + 𝑞𝐴# − 𝑟𝐴" 𝑑𝑨 = 𝐴̇ " + 𝑟𝐴! − 𝑝𝐴# 𝑑𝑡 𝐴̇ # + 𝑝𝐴" − 𝑞𝐴!

課題１ 外積の計算練習 𝑨= 1 2 3 𝑩= 4 5 6 𝑨×𝑩を計算しなさい

課題２ 並進運動の運動⽅程式の展開 ⾓速度𝝎で回転する座標系に定義された運動量ベクトル𝑚𝑽の微 分を計算しなさい。 速度ベクトル 𝑽 = 𝑢 𝑣 𝑤 $ 座標系の⾓速度ベクトル 𝝎 = 𝑝 𝑞 𝑟 $