ドローンの2Dシミュレーション

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July 17, 22

スライド概要

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■ドローンやロボットを自作することを通じて制御や関連技術の生涯勉強情報を提供■工学博士■防大航空宇宙→筑波大博士■陸自→対戦車誘導弾等の装備品開発→高専教員→大学教員■ロボットランサー優勝→マイクロマウスニューテクノロジー賞受賞■指導者としてつくばチャレンジバンナム賞→飛行ロボコンマルチコプタ部門1位等々■北海道函館出身

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各ページのテキスト
1.

初めてのドローンシミュレーション 2Dマルチコプタシミュレーション⽤⽅程式 Motor 𝑄 = 𝐶# 𝜔" 𝑑𝑖 𝐿 + 𝑅𝑖 + 𝐾𝜔 = 𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝜔 J! + 𝐷𝜔 + 𝑄 = 𝐾𝑖 𝑑𝑡 初めての⼈はオイラー法を慣れた⾔語で書いたりSimulinkを使い、これら8本の 微分⽅程式を解いて計算(シミュレーション)してみることをお勧めします ※式の形は左右共通 ※記号の説明はP.3参照 𝑞 𝜔B 𝜔A 𝜃 インダクタンスを無視 𝑇$ = 𝐶' 𝜔$ " 𝑇% = 𝐶' 𝜔% " 𝑑𝑞 J = 𝑇$ − 𝑇% 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑈 𝑀 + 𝑞𝑊 = −𝑀𝑔 sin 𝜃 + 𝐶& 𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝑀 − 𝑞𝑈 = − 𝑇$ + 𝑇% + 𝑀𝑔 cos 𝜃 + 𝐶( 𝑊 𝑑𝑡 𝑈 𝑋 𝑑𝜔 𝐾" 𝐾 J! + 𝐷+ 𝜔 + 𝐶# 𝜔" = 𝑢 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 Copter 𝑥 𝑧 𝑊 𝑌 Kinematics 𝑑𝜃 J =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑋 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑊 sin 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 = −𝑈 sin 𝜃 + 𝑊 cos 𝜃 𝑑𝑡 1

2.

初めてのドローンシミュレーション つりあい(Trim)の計算 モータ・機体 変化がない状態、微分が0がつりあいです Trim状態の状態量は添字0を付けて表します。 定常直線⾶⾏状態を考えた場合 𝑞) = 0 そのほかの状態量は何らかの値を持ちます。(0を含む) Motor ※式の形は左右共通 Copter 𝑇$ = 𝐶' 𝜔$ " 𝑇% = 𝐶' 𝜔% " 𝑑𝑞 J = 𝑇$ − 𝑇% 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑈 𝑀 + 𝑞𝑊 = −𝑀𝑔 sin 𝜃 + 𝐶& 𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝑀 − 𝑞𝑈 = − 𝑇$ + 𝑇% + 𝑀𝑔 cos 𝜃 + 𝐶( 𝑊 𝑑𝑡 𝑇$) − 𝑇%) =0 𝑑𝜔 𝐾" 𝐾 J! + 𝐷+ 𝜔 + 𝐶# 𝜔" = 𝑢 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 𝐾" 𝐾 " 𝐷+ 𝜔) + 𝐶# 𝜔) = 𝑢) 𝑅 𝑅 𝑅 𝑢) = 𝐾 𝐾" 𝐷+ 𝜔) + 𝐶# 𝜔) " 𝑅 𝜔) = 𝜔$) = 𝜔%) 0 = −𝑀𝑔 sin 𝜃) + 𝐶& 𝑈) 0 = − 𝑇$) + 𝑇%) + 𝑀𝑔 cos 𝜃) + 𝐶( 𝑊) 𝑀𝑔 sin 𝜃) 𝐶& 𝑀𝑔 cos 𝜃) + 𝐶( 𝑊) 𝑇) = 𝑇$) = 𝑇%) = 2 " 𝑇) = 𝐶' 𝜔) 𝑈) = 𝜔) = 𝑀𝑔 cos 𝜃) + 𝐶( 𝑊) 2𝐶' 2

3.

初めてのドローンシミュレーション つりあい(Trim)の計算 キネマティクス Kinematics 𝑑𝜃 J =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑋 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑊 sin 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 = −𝑈 sin 𝜃 + 𝑊 cos 𝜃 𝑑𝑡 𝑞) = 0 V*) = 𝑈) cos 𝜃) + 𝑊) sin 𝜃) V+) = − 𝑈) sin 𝜃) + 𝑊) cos 𝜃) 記号 𝑄:プロペラトルク[Nm] 𝐶! :プロペラトルク係数 𝐿:モータコイルインダクタンス [H] 𝑅:モータコイル抵抗 [H] 𝑖:モータコイル電流 [A] 𝜔" ,𝜔# :モータ⾓速度 [rad/s] 𝐾:モータトルク定数 [Nm/A][Vs/rad] 𝑖:モータコイル電流 [A] 𝐽$ :モータ慣性モーメント [kgm2] 𝐷:モータ動粘性抵抗係数 [Nm rad/s] 𝑇" ,𝑇# :プロペラ推⼒ [N] 𝐶% :プロペラ推⼒係数 𝐽:機体慣性モーメント [kgm2] 𝑞 :機体⾓速度(ピッチレート) [rad/s] 𝜃 :機体姿勢⾓(ピッチ⾓) [rad] 𝑀 :機体質量 [kg] 𝑙:モータ配置半径 [m] 𝑈 :機体座標系横速度 [m/s] 𝑊 :機体座標系縦速度 [m/s] 𝑀 :機体質量 [kg] 𝐶& , 𝐶& :空⼒係数 𝑋 , 𝑍 :慣性座標系位置(横,縦)[m] 3

4.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 モータ 微⼩擾乱法とは、例えば、モータの⾓速度𝜔は トリム値𝜔) と微⼩変化量∆𝜔の和と考え 𝜔 = 𝜔) + ∆𝜔 として⽅程式を展開し微⼩量を無視し近似する Motor ※式の形は左右共通 𝑑𝜔 𝐾" 𝐾 " J! + 𝐷+ 𝜔 + 𝐶# 𝜔 = 𝑢 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 𝑑∆𝜔 𝐾" J! + 𝐷+ (𝜔) + ∆𝜔) + 𝐶# 𝜔) + ∆𝜔 𝑑𝑡 𝑅 " 𝐾 = (𝑢) + ∆𝑢) 𝑅 𝑑∆𝜔 𝐾" 𝐾 J! + 𝐷+ (𝜔) + ∆𝜔) + 𝐶# (𝜔)" + 2𝜔) ∆𝜔 + ∆𝜔" ) = (𝑢) + ∆𝑢) 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 トリム計算が反映さ 𝑑∆𝜔 𝐾" 𝐾 J! + 𝐷+ ∆𝜔 + 2𝐶# 𝜔) ∆𝜔 = ∆𝑢 れ簡単になる 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 微少量の2乗は⾮常に⼩さ いとして無視する 𝑑∆𝜔 𝐾" 𝐾 J! + 𝐷+ + 2𝐶# 𝜔) ∆𝜔 = ∆𝑢 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 4

5.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 機体⾓速度 Copter 𝑇$ = 𝐶' 𝜔$ " 𝑇% = 𝐶' 𝜔% " 𝑑𝑞 J = 𝑇$ − 𝑇% 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑈 𝑀 + 𝑞𝑊 = −𝑀𝑔 sin 𝜃 + 𝐶& 𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝑀 − 𝑞𝑈 = − 𝑇$ + 𝑇% + 𝑀𝑔 cos 𝜃 + 𝐶( 𝑊 𝑑𝑡 推⼒を展開してモータ⾓速 𝑑∆𝑞 " " J = 𝐶' 𝜔$) + ∆𝜔$ − 𝜔%) + ∆𝜔% 𝑙 度で表している 𝑑𝑡 𝑑∆𝑞 微少量の2乗は⾮常に⼩さ J = 𝐶' 𝜔$) " + 2𝜔$) ∆𝜔$ + ∆𝜔$ " − 𝜔%) " + 2𝜔%) ∆𝜔% + ∆𝜔% " 𝑙 いとして無視する 𝑑𝑡 トリム計算が反映さ 𝑑∆𝑞 J = 𝐶' 2𝜔$) ∆𝜔$ − 2𝜔%) ∆𝜔% 𝑙 れ簡単になる 𝑑𝑡 J 𝑑∆𝑞 = 2𝜔) 𝐶' 𝑙 ∆𝜔$ − ∆𝜔% 𝑑𝑡 5

6.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 機体並進速度 Copter " " 𝑇$ = 𝐶' 𝜔$ 𝑇% = 𝐶' 𝜔% 𝑑𝑞 J = 𝑇$ − 𝑇% 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑈 𝑀 + 𝑞𝑊 = −𝑀𝑔 sin 𝜃 + 𝐶& 𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝑀 − 𝑞𝑈 = − 𝑇$ + 𝑇% + 𝑀𝑔 cos 𝜃 + 𝐶( 𝑊 𝑑𝑡 計算メモ 𝑞) + ∆𝑞 𝑊) + ∆𝑊 = 𝑞) 𝑊) + 𝑞) ∆𝑊 + ∆𝑞𝑊) + ∆𝑞∆𝑊 ≈ 𝑊) ∆𝑞 sin/cosは加法定理を 𝑑∆𝑈 𝑀 + 𝑊) ∆𝑞 = −𝑀𝑔 sin 𝜃) + ∆𝜃 + 𝐶& 𝑈) + ∆𝑈 ⽤いて展開 𝑑𝑡 ※計算メモ参照 𝑑∆𝑈 sin/cosは近似 𝑀 = −𝑀𝑔 sin 𝜃) cos ∆𝜃 + cos 𝜃) sin ∆𝜃 + 𝐶& 𝑈) + ∆𝑈 − 𝑀𝑊) ∆𝑞 𝑑𝑡 𝑑∆𝑈 𝑀 = −𝑀𝑔 sin 𝜃) + cos 𝜃) I ∆𝜃 + 𝐶& 𝑈) + ∆𝑈 − 𝑀𝑊) ∆𝑞 𝑑𝑡 𝑀 𝑑∆𝑈 = −𝑀𝑔 cos 𝜃) I ∆𝜃 + 𝐶& ∆𝑈 − 𝑀𝑊) ∆𝑞 𝑑𝑡 6

7.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 機体並進速度 Copter " " 𝑇$ = 𝐶' 𝜔$ 𝑇% = 𝐶' 𝜔% 𝑑𝑞 J = 𝑇$ − 𝑇% 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑈 𝑀 + 𝑞𝑊 = −𝑀𝑔 sin 𝜃 + 𝐶& 𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝑀 − 𝑞𝑈 = − 𝑇$ + 𝑇% + 𝑀𝑔 cos 𝜃 + 𝐶( 𝑊 𝑑𝑡 計算メモ 𝑞) + ∆𝑞 U) + ∆𝑈 = 𝑞) 𝑈) + 𝑞) ∆𝑈 + ∆𝑞𝑈) + ∆𝑞∆𝑈 ≈ 𝑈) ∆𝑞 𝑑∆𝑊 𝑀 − 𝑈) ∆𝑞 = −𝐶' 𝜔$) " + 2𝜔$) ∆𝜔$ + ∆𝜔$ " − 𝜔%) " + 2𝜔%) ∆𝜔% + ∆𝜔% " 𝑑𝑡 ※計算メモ参照 +𝑀𝑔 cos 𝜃) cos ∆𝜃 + sin 𝜃) sin ∆𝜃 + 𝐶( 𝑊) + ∆𝑊 𝑀 𝑀 𝑑∆𝑊 = −𝐶' 𝜔$) " + 2𝜔$) ∆𝜔$ − 𝜔%) " + 2𝜔%) ∆𝜔% 𝑑𝑡 +𝑀𝑔 cos 𝜃) + sin 𝜃) I ∆𝜃 + 𝐶( 𝑊) + ∆𝑊 + 𝑀𝑈) ∆𝑞 𝑑∆𝑊 = −2𝜔) 𝐶' ∆𝜔$ − ∆𝜔% + 𝑀𝑔 sin 𝜃) I ∆𝜃 + 𝐶( ∆𝑊 + 𝑀𝑈) ∆𝑞 𝑑𝑡 7

8.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 ピッチ⾓ Kinematics 𝑑𝜃 J =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑋 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑊 sin 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 = −𝑈 sin 𝜃 + 𝑊 cos 𝜃 𝑑𝑡 J 𝑑∆𝜃 = ∆𝑞 𝑑𝑡 8

9.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 ⽔平位置 Kinematics 𝑑𝜃 J =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑋 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑊 sin 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 = −𝑈 sin 𝜃 + 𝑊 cos 𝜃 𝑑𝑡 𝑑∆𝑋 𝑉*) + = 𝑑𝑡 𝑑∆𝑋 𝑉*) + = 𝑑𝑡 𝑑∆𝑋 𝑉*) + = 𝑑𝑡 𝑑∆𝑋 𝑉*) + = 𝑑𝑡 メモ ∆𝑋や∆𝑍に関しては微少量ではなく初期状態からの変化 量と捉えた⽅が良い 計算メモ 𝑑𝑋 𝑑(𝑋) + ∆𝑋) 𝑑𝑋) 𝑑∆𝑋 𝑑∆𝑋 = = + = 𝑉*) + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑈) + ∆𝑈 cos(𝜃) + ∆𝜃) + (𝑊) + ∆𝑊) sin(𝜃) + ∆𝜃) 𝑈) + ∆𝑈 cos 𝜃) cos ∆𝜃 + sin 𝜃) sin ∆𝜃 + (𝑊) + ∆𝑊) sin 𝜃) cos ∆𝜃 + cos 𝜃) sin ∆𝜃 𝑈) + ∆𝑈 cos 𝜃) + sin 𝜃) I ∆𝜃 + (𝑊) + ∆𝑊) sin 𝜃) + cos 𝜃) I ∆𝜃 𝑈) cos 𝜃) + 𝑈) sin 𝜃) I ∆𝜃 + cos 𝜃) I ∆𝑈 + (𝑊) sin 𝜃) + 𝑊) cos 𝜃) I ∆𝜃 + sin 𝜃) I ∆𝑊) 𝑑∆𝑋 = cos 𝜃) I ∆𝑈 + sin 𝜃) I ∆𝑊 + 𝑈) sin 𝜃) + 𝑊) cos 𝜃) ∆𝜃 𝑑𝑡 9

10.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 垂直位置 Kinematics 𝑑𝜃 J =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑋 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑊 sin 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 = −𝑈 sin 𝜃 + 𝑊 cos 𝜃 𝑑𝑡 メモ ∆𝑋や∆𝑍に関しては微少量ではなく初期状態からの変化 量と捉えた⽅が良い 𝑑∆𝑍 = − 𝑈) + ∆𝑈 sin(𝜃) + ∆𝜃) + (𝑊) + ∆𝑊) cos(𝜃) + ∆𝜃) 𝑑𝑡 𝑑∆𝑍 = − 𝑈) + ∆𝑈 sin 𝜃) cos ∆𝜃 + cos 𝜃) sin ∆𝜃 + (𝑊) + ∆𝑊) cos 𝜃) cos ∆𝜃 + sin 𝜃) sin ∆𝜃 𝑑𝑡 𝑑∆𝑍 = − 𝑈) + ∆𝑈 sin 𝜃) + cos 𝜃) I ∆𝜃 + (𝑊) + ∆𝑊) cos 𝜃) + sin 𝜃) I ∆𝜃 𝑑𝑡 𝑑∆𝑍 = − 𝑈) sin 𝜃) + 𝑈) cos 𝜃) I ∆𝜃 + sin 𝜃) I ∆𝑈 + (𝑊) cos 𝜃) + 𝑊) sin 𝜃) I ∆𝜃 + cos 𝜃) I ∆𝑊) 𝑑𝑡 𝑑∆𝑍 = − sin 𝜃) I ∆𝑈 + cos 𝜃) I ∆𝑊 + − 𝑈) cos 𝜃) + 𝑊) sin 𝜃) ∆𝜃 𝑑𝑡 10

11.

初めてのドローンシミュレーション 微⼩擾乱法による線形化 まとめ 線形化前 Motor ※式の形は左右共通 " 𝑑𝜔 𝐾 J! + 𝐷+ 𝑑𝑡 𝑅 𝜔 + 𝐶# 𝜔" 𝐾 = 𝑢 𝑅 Copter 𝑇$ = 𝐶' 𝜔$ " 𝑇% = 𝐶' 𝜔% " 𝑑𝑞 J = 𝑇$ − 𝑇% 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑈 𝑀 + 𝑞𝑊 = −𝑀𝑔 sin 𝜃 + 𝐶& 𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝑀 − 𝑞𝑈 = − 𝑇$ + 𝑇% + 𝑀𝑔 cos 𝜃 + 𝐶( 𝑊 𝑑𝑡 Kinematics 𝑑𝜃 J =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑋 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑊 sin 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 = −𝑈 sin 𝜃 + 𝑊 cos 𝜃 𝑑𝑡 線形化された微分⽅程式から状態空間表現でドローンモデルを表し現代制御理 論等での解析や設計を多なうことができる 線形化後 Motor " ※式の形は左右共通 𝑑∆𝜔 𝐾 𝐾 J! + 𝐷+ + 2𝐶# 𝜔) ∆𝜔 = ∆𝑢 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 Copter 𝑑∆𝑞 J = 2𝜔) 𝐶' 𝑙 ∆𝜔$ − ∆𝜔% 𝑑𝑡 𝑑∆𝑈 𝑀 = −𝑀𝑔 cos 𝜃) I ∆𝜃 + 𝐶& ∆𝑈 𝑑𝑡 𝑑∆𝑊 𝑀 = −2𝜔) 𝐶' ∆𝜔$ − ∆𝜔% + 𝑀𝑔 sin 𝜃) I ∆𝜃 + 𝐶( ∆𝑊 𝑑𝑡 Kinematics 𝑑∆𝜃 J = ∆𝑞 𝑑𝑡 𝑑∆𝑋 = cos 𝜃) I ∆𝑈 + sin 𝜃) I ∆𝑊 + 𝑈) sin 𝜃) + 𝑊) cos 𝜃) ∆𝜃 𝑑𝑡 𝑑∆𝑍 = − sin 𝜃) I ∆𝑈 + cos 𝜃) I ∆𝑊 + − 𝑈) cos 𝜃) + 𝑊) sin 𝜃) ∆𝜃 𝑑𝑡 11