Riemann球面に内接する直方体[第四回日曜数学会]

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December 15, 22

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各ページのテキスト
1.

Riemann球面に 内接する直方体 大阪大学工学部3年 堀川 由人 (@Hyrodium) 日曜数学会(2016/01/30)

2.

自己紹介 • 堀川 由人 • ほりきゃわ(@Hyrodium) • 府大高専→大阪大学(編入) • 幾何的直感を使うのが好きです • Desmos Graphing Calculatorの日本語訳 • 去年参加した数学イベント • 第一回日曜数学会 • サイエンスアゴラ • 第五回プログラマのための数学勉強会

3.

自己紹介 • 作ったもの

4.

もくじ • 第一回日曜数学会LTの復習 • 複素数の逆数 • Riemann球面に内接する直方体 • 反数・逆数・共役 • 応用例 その1 • と を通る円 • 応用例 その2 • SU(2)によるMöbius変換

5.

実数の逆数の作図

6.

実数の逆数の作図

7.

実数の逆数の作図

8.

実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数の作図

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実数の逆数

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実数の逆数

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実数の逆数

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実数の逆数

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実数の逆数

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実数の逆数

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純虚数の逆数

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純虚数の逆数

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純虚数の逆数

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純虚数の逆数

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純虚数の逆数

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純虚数の逆数

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複素数の逆数

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複素数の逆数

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複素数の逆数

33.

複素数の逆数

34.

複素数の逆数

35.

状況説明 • 立体射影→Re軸で180°回転→立体射影

36.

Riemann球面と直方体 • 各軸と平行な辺

37.

Riemann球面と直方体 • 頂点の一つを とする

38.

Riemann球面と直方体 • 反数(加法逆元)をとる

39.

Riemann球面と直方体 • 逆数(乗法逆元)をとる

40.

Riemann球面と直方体 • 複素共役をとる

41.

Riemann球面と直方体 • 各頂点と複素数が対応

42.

直方体の頂点の数 • 8個の頂点 • 反数 • 逆数 • 共役

43.

応用例 その1 • アールフォルス 「複素解析」p18問5 と を通る任意の 円は単位円と直交する 事を示せ.

44.

応用例 その1 (初等幾何的解 釈) • 方べきの定理⇒接線の長さは1

45.

応用例 その1 (Riemann球面) • 立体射影してRiemann球面上で考える

46.

応用例 その1 (Riemann球面) • と が複素平面に関して上下対称 ⇒○と○が直交

47.

応用例 その1 (Riemann球面) • ○と○が直交 ⇔ ○と○が直交 立体射影で角が保存

48.

応用例 その1 (Riemann球面) • ○と○が直交 ⇔ ○と○が直交 立体射影で角が保存

49.

応用例 その1 (Riemann球面) • ○と○が直交 ⇔ ○と○が直交 立体射影で角が保存

50.

応用例 その2 • SU(2)によるMöbius変換はRiemann球面の 回転を表す

51.

応用例 その2 (Möbius変換) • 複素関数 • 放物型, 双曲型, 楕円型, 斜航型に分類 ( で正規化)

52.

応用例 その2 (SU(2)での変換) • 特殊ユニタリ行列 • 不変量 を計算 ⇒楕円型

53.

応用例 その2 (SU(2)での変換) • 不動点を計算 ある を 故に が不動点ならば に置き換えて も不動点⇒不動点は互いに裏側

54.

応用例 その2 (SU(2)での変換) • 特殊ユニタリ行列 • 変換は楕円型 ( ) • 不動点は反対側 ( と ) ⇒Riemann球面の回転を表す

55.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換 • 上半平面を単位円盤に移す • 行列はSU(2)の定数倍(Riemann球面の回転)

56.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

57.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

58.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

59.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

60.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

61.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

62.

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す