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title: ロドリゲスの回転公式
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description: ロドリゲスの回転公式 | Mathlog https://mathlog.info/articles/3190  四元数と回転 | ドクセル https://www.docswell.com/s/usami-k/KQ8EJY-quaternion-rotation-tsudoi
published: May 05, 22
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ロドリゲスの回転公式
宇佐見 公輔
2022 年 5 月 5 日
3 次元の回転変換をベクトルで記述する、ロドリゲスの回転公式を紹介します。なお、この内容
は先日開催された第 3 回すうがく徒のつどいの「四元数と回転」で話した内容の一部です。その際
の講演資料には画像がありませんでしたが、今回は画像を作成しました。
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ロドリゲスの回転公式
⃗ 𝑦⟩
⃗ と、外積を 𝑥⃗ × 𝑦⃗ と書
以下、3 次元ベクトル空間 ℝ3 で考えます。ベクトル 𝑥⃗ と 𝑦⃗ の内積を ⟨𝑥|
くことにします。
3 次元空間のなかで、原点を通る回転軸の周りに回転角 𝜃 だけ回転するという変換は、次のよう
に記述できます。
Theorem 1.1 (ロドリゲスの回転公式)
大きさ 1 のベクトル 𝑛⃗ があるとします。点 𝑋 を 𝑛⃗ の周りに角 𝜃 だけ回転した点を 𝑋 ′ としま
′ の位置ベクトルを 𝑥⃗′ とするとき、次が成り立ちます。
⃗
す。𝑋 の位置ベクトルを 𝑥、𝑋
⃗ 𝑥⟩
⃗ 𝑛⃗ + sin 𝜃(𝑛⃗ × 𝑥)
⃗
𝑥⃗′ = cos 𝜃 𝑥⃗ + (1 − cos 𝜃)⟨𝑛|
𝑛⃗ は回転軸に沿う単位ベクトルです。𝑛⃗ の周りに角 𝜃 だけ回転するという操作を図で示すと、次
のようになります。
𝑛⃗
𝑥⃗′
𝑥⃗
𝜃
回転軸の周りの回転
⃗ 𝑛、
⃗ 𝑛⃗ × 𝑥⃗ の 3 つのベクトルの和の形で記
ロドリゲスの回転公式は、回転後のベクトル 𝑥⃗′ を、𝑥、
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述しています。
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ロドリゲスの回転公式の証明
以下、ロドリゲスの回転公式を証明します。
まず、𝑥⃗ を 𝑛⃗ と平行な方向 𝑥⃗∥ と垂直な方向 𝑥⃗⟂ に分解します。
𝑥⃗ = 𝑥⃗∥ + 𝑥⃗⟂
⃗ 𝑥⟩
⃗ 𝑛⃗ となります。
このとき、𝑥⃗∥ = ⟨𝑛|
𝑥⃗′ も同様に分解します。
𝑥⃗′ = 𝑥⃗′ ∥ + 𝑥⃗′ ⟂
このとき、点 𝑋 ′ は点 𝑋 を 𝑛⃗ の周りに回転した点であることから、𝑥⃗ と 𝑥⃗′ について、𝑛⃗ と平行な方
向の成分は等しくなります。つまり 𝑥⃗′ ∥ = 𝑥⃗∥ です。
𝑛⃗
𝑥⃗′
𝑥⃗
𝑥⃗∥
𝑥⃗′ ⟂
𝜃
𝑥⃗⟂
位置ベクトルの分解
よって、𝑥⃗′ ∥ は 𝑥⃗ と 𝑛⃗ であらわせることが分かりました。次に、𝑥⃗′ ⟂ を 𝑥⃗ と 𝑛⃗ であらわすことを
考えます。
外積 𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂ を考えます。外積の大きさは平行四辺形の面積でしたから、これは実は 𝑛⃗ × 𝑥⃗ と等し
いです。
𝑛⃗ と 𝑥⃗⟂ は直交していることから、次が成り立ちます。
⃗ 𝑥⃗⟂ | sin
|𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂ | = |𝑛||
𝜋
⃗ 𝑥⃗⟂ | = |𝑥⃗⟂ |
= |𝑛||
2
よって、𝑥⃗⟂ 、𝑥⃗′ ⟂ 、𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂ はすべて同じ大きさです。
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𝑛⃗
𝑥⃗′
𝑥⃗
𝑥⃗′ ⟂
𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂
𝜃
𝑥⃗⟂
外積ベクトル
𝑥⃗′
⟂
⃗ 𝑥⃗⟂ 方向に分解します。𝑥⃗⟂ と 𝑥⃗′ ⟂ のなす角は 𝜃 なので、次のようになります。
を 𝑥⃗⟂ 方向と 𝑛×
𝑥⃗′ ⟂ = cos 𝜃𝑥⃗⟂ + sin 𝜃(𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂ )
𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂
𝑥⃗′ ⟂
𝜃
𝑥⃗⟂
ベクトルの分解
これで、𝑥⃗′
⟂
を 𝑥⃗ と 𝑛⃗ であらわすことができました。したがって、次が成り立ちます。
𝑥⃗′ = 𝑥⃗′ ∥ + 𝑥⃗′ ⟂
= 𝑥⃗∥ + cos 𝜃𝑥⃗⟂ + sin 𝜃(𝑛⃗ × 𝑥⃗⟂ )
⃗
= 𝑥⃗∥ + cos 𝜃(𝑥⃗ − 𝑥⃗∥ ) + sin 𝜃(𝑛⃗ × 𝑥)
⃗
= cos 𝜃 𝑥⃗ + (1 − cos 𝜃)𝑥⃗∥ + sin 𝜃(𝑛⃗ × 𝑥)
⃗ 𝑥⟩
⃗ 𝑛⃗ + sin 𝜃(𝑛⃗ × 𝑥)
⃗
= cos 𝜃 𝑥⃗ + (1 − cos 𝜃)⟨𝑛|
以上でロドリゲスの回転公式が証明できました。
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