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title: 分散と標準偏差
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author: [minimalgreen](https://www.docswell.com/user/minimalgreen888)
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description: 金融分野のポートフォリオ理論から分散と標準偏差について 出典：一般社団法人金融財政事情研究会 1級学科試験22年5月試験より. 当スライド作成者は一般社団法人金融財政事情研究会のFP技能士センター正会員のため許諾申請なく試験問題を利用できます。
published: July 07, 22
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# Page. 1

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分散と標準偏差
テストの平均点集計から考える


# Page. 2

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分散（Variance）とは？
偏差＝平均からの距離
分散（V）＝
（各データの値ー平均値）2 の和
全体のデータ数
分散とは偏差の２乗の和の平均である
V＝Σ(偏差)2
n
標準偏差(σ)= 分散


# Page. 3

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三人のテストの平均点で考える
名前
Aさん
Bさん
Cさん
得点
90点
80点
40点
平均点(E)＝(90+80+40)/3人=70点
偏差2＝(平均からの距離)2 分散は偏差2の平均
分散(V)＝{(90-70)2+(80-70)2+(40-70)2}/3
標準偏差σ
＝ 466.666...
=21.602
=(90-70)2 1/3+(80-70)2 1/3+(40-70)2 1/3
=21.60
式変形すると V＝Σ(偏差)2 生起確率の形になる
（四捨五入後）
＝466.666...


# Page. 4

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分散をポートフォリオ理論に応用すると
分散（V）＝Σ（シナリオ別の予想収益率ーポートフォリオの期待収益率）2 生起確率
分散とは偏差の２乗の和の平均である
V＝Σ(偏差)2 生起確率
シナリオ別予想収益率：r ポートフォリオの期待収益率：平均値E 生起確率：p
V=Σ(r-E)2 p
収益率はテストの点数（成績）みたいなものと考えると高校数学と同じ感覚になる。


# Page. 5

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各シナリオ別の予想収益率から
ポートフォリオの標準偏差を求める
⽣起確率p
Aファンドの予想収益率
Bファンドの予想収益率
シナリオ1
20%
10%
5%
シナリオ2
50%
15%
0％
シナリオ3
30%
▲10%
20%
Q.組入比率A:B=6:4のポートフォリオの標準偏差は？
A.シナリオ別の予想収益率は以下の通り。
シナリオ1:10% 0.6+5% 0.4=8%
シナリオ2：15% 0.6+0% 0.4=9%
シナリオ3：(-10%) 0.6+20% 0.4=2%
E(ポートフォリオの期待収益率)
=各シナリオ別の予想収益率の加重平均
=8% 0.2+9% 0.5+2% 0.3=6.7%
平均との距離（偏差）
シナリオ1：8-6.7=1.3
シナリオ2：9-6.7=2.3
シナリオ3：2-6.7=-4.7
V=(1.3)2 0.2+(2.3)2 0.5+(4.7)2 0.3
=9.61
σ= 9.61=3.1%


# Page. 6

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相関係数：相関性の強さの指標
2資産間（証券Aと証券B)の相互関係のバラツキを見る指標
定義
共分散
相関係数 =
Aの標準偏差×𝐵の標準偏差
+1~-1に収まるよう調整にためそれぞれの標準偏差で割っている
共分散＝Σ（Aの偏差)×(Bの偏差)×⽣起確率i
共分散は取り扱いがムズカシイので+1~-1に収まるよう相関係数を使って相関性の程度をみる


# Page. 7

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共分散と相関係数の関係
共分散を文字Cov(A,B)で置いてみよう
σA :Aの標準偏差 σB：Bの標準偏差
Cov(A,B) =σA σB ρ （ρ：相関係数)
この式を変形すると
ρ= Cov(A,B) /(σA
σB)
で表される
共分散・相関係数どちらも試験で問われる可能性がありますが、定義式を式変形するだけです。


# Page. 8

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/D7YVVPZ97M.jpg)

共分散や相関係数を使ったポートフォリ
オの分散・標準偏差の求め方
2資産 ポートフォリオの分散(V)
=Aの割合2 σA2+Bの割合2 σB2+2 Aの割合 Bの割合 共分散
共分散= σA σB ρ なので
= Aの割合2 σA2+Bの割合2 σB2+2 Aの割合 Bの割合
と相関係数を使って表すこともできる
σA σB ρ


# Page. 9

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VENMM53DJ8.jpg)

22年5月試験問56(1)
実績収益率
標準偏差
Yファンド
6.00%
10.00%
Zファンド
12.00%
25.00%
① YファンドとZファンドの相関係数
"#.##
共分散
相関係数 =
=
=0.32
!の標準偏差×#の標準偏差 %#.##×'(.##
② Yファンドのシャープ・レシオ
S𝑅 =
実績収益率$安全資産利⼦率 +.##,#.%#
=
=0.59
!の標準偏差（リスク）
%#.##
共分散
80.00


# Page. 10

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22年5月試験問56(2)
実績収益率
標準偏差
Yファンド
6.00%
10.00%
Zファンド
12.00%
25.00%
③ Y:Z=6:4の割合のポートフォリオの標準偏差
ポートフォリオの分散(V)
=Yの割合2×σY2+Zの割合2×σZ2+2×Yの割合×Zの割合×共分散
=0.62×10.002+0.42×25.002+2×0.6×0.4×80.00=174.4
ポートフォリオの標準偏差(σ)
= 174.4 = 13.2060 → 13.21%
共分散
80.00