--- title: AMPL活用スライド tags: author: [MIKIO KUBO](https://www.docswell.com/user/mikiokubo) site: [Docswell](https://www.docswell.com/) thumbnail: https://bcdn.docswell.com/page/VEPK5RMZ78.jpg?width=480 description: AMPLのすべてを丁寧に解説 published: August 13, 26 canonical: https://www.docswell.com/s/mikiokubo/KE1WQN-AMPL --- # Page. 1 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VEPK5RMZ78.jpg) 最適化ソリューション開発を加速する 数理最適化モデリングツール AMPL 活用セミナー 野々部 宏司 株式会社MOAI Lab 法政大学デザイン工学部 2025年 9月 25日 # Page. 2 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/27VVPR9M7Q.jpg) はじめに 最適化ソリューション 数理最適化技術を活用した問題解決・意思決定 ◼ 想定 ⚫ 解きたい最適化問題がある  （初期の）要件定義は完了している 最適化問題とは 種々の制約のもと，目的関数を最小化／最大化する問題 minimize subject to 2 𝑓(𝑥) 𝑥∈𝐹 𝑓(𝑥)：目的関数 𝐹：実行可能領域 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 3 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5JGLPMZX7L.jpg) はじめに 最適化ソリューション 数理最適化技術を活用した問題解決・意思決定 ◼ 想定 ⚫ 解きたい最適化問題がある  （初期の）要件定義は完了している ⚫ 問題に特化した専用ソルバーを利用・開発するのではなく 汎用の数理最適化ソルバーを使って解く 専用ソルバーの利用が考えられる例  配送計画，ネットワーク設計，在庫最適化，最短経路， スケジューリング，パッキング，… 3 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 4 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47QY2RL5EP.jpg) 数理最適化ソルバー 最適化問題を解くソフトウェア／汎用ソルバー ◼ 対象とする最適化問題（モデル）の種類によって分類される ⚫ 線形最適化（LP），混合整数最適化（MIP） 商用：GUROBI, CPLEX, XPRESS, COPT  オープンソース：HiGHS, SCIP, CBC  ⚫ 非線形最適化（NLP） 商用：KNITRO, CONOPT, MINOS, SNOPT  オープンソース：IPOPT  ⚫ 大域的最適化  4 商用：BARON © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 5 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KE4WL8DVJ1.jpg) 例：多品種輸送問題（具体例） 生産可能製品 2 重量１単位あたり 輸送費用 4 工場 A 4 5 8 B 2 5 8 2 3 1000 5 3 4 80 85 300 6 1 2 3 4 270 160 200 7 1 2 3 4 250 130 350 4 1 2 3 4 160 60 200 3 Z 3 製品重量 2 Y 4 7 C 1 6 3 1000 1 X 6 生産容量 1000 1 倉庫 W 需要量 1 2 3 4 5 2 3 4 どの工場からどの倉庫にどの製品をどれだけ 輸送すれば総輸送費用を最小化できるか © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 6 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L71YL2Z4JG.jpg) 例：多品種輸送問題（具体例） LP定式化 6 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 7 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G7WGVR9ZE2.jpg) 例：多品種輸送問題（モデル） 工場集合 𝐼 生産可能 製品集合 重量１単位あたり 輸送費用 W 需要量 1 𝑐𝐴𝑊 A 𝑃𝐴 倉庫集合 𝐽 𝑐𝐴𝑋 経路集合 𝐴 ⊆ 𝐼 × 𝐽 B 𝑃𝐵 … 𝑑𝑊1 𝑑𝑊2 … 1 2 … 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 … 1 2 … 𝑑𝑌1 𝑑𝑌2 … X 𝑐𝐴𝑌 生産容量 𝑢𝐴 2 Y 𝑢𝐵 … 製品重量 𝑤1 𝑤2 … 7 … 2 … … … … 1 どの工場からどの倉庫にどの製品をどれだけ 輸送すれば総輸送費用を最小化できるか © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 8 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JZL4R9LE3.jpg) 例：多品種輸送問題（モデル） LP定式化 𝑗∈𝐽 𝑖∈𝐼 𝑐𝑖𝑗 𝑤𝑝 𝑝 ∈ 𝑃𝑖 𝑢𝑖 8 𝑥𝑖𝑗𝑝 𝑑𝑗𝑝 (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ⊆ 𝐼 × 𝐽 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 9 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE6W3RKMEV.jpg) 問題例（インスタンス）と問題 抽象化 問題例（インスタンス） 「モデル」＋「データ」 ⚫ ある特定の問題を与える ⚫ 具体的な数値を用いて表 される 具体化 問題 ⚫ ⚫ 「モデル」 同様の構造を有する問題例 の集合を与える 集合やパラメータを用いて 表される ＋「データ」 ◼ 最適解を求めるために実際にソルバーに入力するのは問題例 ◼ 問題例も「モデル」と呼ばれる 以下では問題例を「具体モデル」，問題を「抽象モデル」として 区別し，単に「モデル」と言う場合は後者を指すこととする 9 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 10 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE5ML8PQE4.jpg) モデリングツール（モデラー） 解きたい問題例（モデル＋データ）をソルバー対応の形式に変換して （LP, MIP, QCPなど） ソルバーに入力し，計算結果を取得 ⚫ 元の問題を表現する抽象モデルの構築 ⚫ インスタンス（具体モデル）の生成 モデル インスタンス 元の問題 計算結果 データ モデラー ソルバー 以下では，Python環境からの利用を想定する 10 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 11 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9729LK6WJR.jpg) 代表的なPythonベースのモデラー ◼ Gurobipy：GUROBIソルバーのPython API ◼ pySCIPOpt：SCIPソルバーのPython API ◼ PuLP：LP/MILPに特化したシンプルなモデラー ◼ Pyomo：表現力・柔軟性の高いモデリングフレームワーク ◼ amplpy：AMPLのPython API AMPL（A Mathematical Programming Language）： 数理最適化問題を記述し，解決するための代数的モデリング言語 （および これをベースとしたモデリングツール） ⚫ 11 1980年代後半，ベル研究所の Robert Fourer，David M. Gay，Brian W. Kernighan によって開発  長年の実績と技術的蓄積  学術界および産業界で広く利用 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 12 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DJY4QN997M.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 12 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 13 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7NYKXLDE8.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 13 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 14 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ9PV84873.jpg) ソルバー非依存 様々な最適化ソルバーとの連携が可能 ◼ Gurobipy, pySCIPOpt：ソルバー依存 ⚫ 利用するソルバーが確定している場合，複雑なアルゴリズムや 高度な機能（コールバック機能など）を利用する場合は有効 ◼ PuLP, Pyomo, amplpy：ソルバー非依存 ⚫ ⚫ ソルバーの切替が容易 選択肢の多さは amplpy（AMPL） が若干優位 GUROBI, CPLEX, XPRESS, COPT, HiGHS, SCIP, CBC, KNITRO, CONOPT, MINOS, SNOPT, IPOPT, BARON など 14 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 15 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ8DP8QZJD.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 15 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 16 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJLM1RX1ER.jpg) データの表現例 ORIG = [‘A’, ‘B’, ‘C‘] # 工場集合 I DEST = [‘W’, ‘X’, ‘Y’, ‘Z‘] # 倉庫集合 J PROD = {‘A’: [2,4], ‘B’: [1,2,3], ‘C’: [1,3,4]} # 生産可能製品集合 P_i PRODALL = sorted({p for i in ORIG for p in PROD[i]}) ARCS = [('A', 'W'), ('A', 'X'), ('A', 'Y'), ('B', 'W'), ('B', 'X'), ('B', 'Y'), ('B', 'Z'), (‘C’, ‘X’), (‘C’, ‘Y’), (‘C’, ‘Z‘)] # 輸送経路集合 A capacity = {‘A’: 1000, ‘B’: 1000, ‘C’: 1000} # 生産容量 u_i demand = { ('W', 1): 80, ('W', 2): 85, ('W', 3): 300, ('W', 4): 6, ('X', 1): 270, ('X', 2): 160, ('X', 3): 200, ('X', 4): 7, ('Y', 1): 250, ('Y', 2): 130, ('Y', 3): 350, ('Y', 4): 4, (‘Z’, 1): 160, (‘Z’, 2): 60, (‘Z’, 3): 200, (‘Z’, 4): 3} # 需要 d_jp cost = { ('A', 'W'): 4, ('A', 'X'): 5, ('A', 'Y'): 6, ('B', 'W'): 8, ('B', 'X'): 6, ('B', 'Y'): 5, ('B', 'Z'): 8, (‘C’, ‘X’): 7, (‘C’, ‘Y’): 4, (‘C’, ‘Z’): 3} # 輸送費用/重量１単位 c_ij weight = {1: 5, 2: 2, 3: 3, 4: 4} # 製品重量 w_p 16 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 17 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47MYWRL57W.jpg) Gurobipyのコード例 from gurobipy import Model, GRB, quicksum m = Model("多品種輸送問題") Model：具体モデル # ----- 変数 ----Flow = {} for i, j in ARCS: for p in PROD[i]: Flow[i, j, p] = m.addVar(name=f"Flow[{i},{j},{p}]", lb=0) m.update() # ----- 目的関数 ----m.setObjective( quicksum(cost[i, j] * weight[p] * Flow[i, j, p] for i, j, p in Flow), GRB.MINIMIZE) # ----- 需要制約 ----for j in DEST: for p in PRODALL: m.addConstr(quicksum(Flow[i, j, p] for i in ORIG if (i, j) in ARCS_set and p in PROD[i]) == demand[(j, p)], name=f"Demand[{j},{p}]") # ----- 容量制約 ----for i in ORIG: m.addConstr(quicksum(Flow[ii, j, p] for ii, j, p in Flow.keys() if ii == i) <= capacity[i], name=f"Capacity[{i}]") m.optimize() モデルの構築とインスタンス生成の両方を含む 17 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 18 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7R9YRKZE9.jpg) amplpyのコード例（.mod） sample.mod # 集合・パラメータ set ORIG; # 工場 （テキストファイル） set DEST; # 倉庫 set PROD {ORIG}; # 製品 set PRODALL = union {i in ORIG} PROD[i]; set ARCS within ORIG cross DEST; # 輸送経路 表現が直感的で簡潔 param capacity {ORIG} >= 0; # 生産可能量 param demand {DEST, PRODALL} >= 0; # 需要量 param cost {ARCS} >= 0; # 重量１単位あたりの輸送費用 param weight {PRODALL} >= 0; # 製品重量 モデルのみを記述 # 決定変数 var Flow {(i,j) in ARCS, p in PROD[i]} >= 0; # 目的関数：総費用最小化 minimize Total_Cost: sum {(i,j) in ARCS, p in PROD[i]} cost[i,j] * weight[p] * Flow[i,j,p]; # 制約1: 需要制約 subject to Demand_Req {j in DEST, p in PRODALL}: sum {(i,j) in ARCS: p in PROD[i]} Flow[i,j,p] = demand[j,p]; # 制約2: 容量制約 subject to Capacity_Limit {i in ORIG}: sum {(i,j) in ARCS, p in PROD[i]} Flow[i,j,p] <= capacity[i]; 18 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 19 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJXQGRL17X.jpg) amplpyのコード例（.py） from amplpy import AMPL # -----AMPLオブジェクトの初期化----ampl = AMPL() # -----モデルファイルの読み込み----ampl.read("sample.mod") モデルファイル：モデル構築 Pythonコード：インスタンス生成 役割が明確 # -----集合を設定----ampl.set['ORIG'] = ORIG ampl.set['DEST'] = DEST ampl.set['PROD'] = PROD ampl.set['ARCS'] = ARCS # -----パラメータを設定----ampl.param['capacity'] = capacity ampl.param['demand'] = demand ampl.param['cost'] = cost ampl.param['weight'] = weight # -----ソルバーを設定して実行----ampl.option['solver'] = 'gurobi' ampl.solve() 19 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 20 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3JK94RLMJD.jpg) Pyomoのコード例 import pyomo.environ as pyo m = pyo.AbstractModel(name="多品種輸送問題") AbstractModel：抽象モデル # ---- 集合・パラメータ ---m.ORIG = pyo.Set(doc="工場") m.DEST = pyo.Set(doc="倉庫") m.ARCS = pyo.Set(dimen=2, within=m.ORIG * m.DEST, doc="輸送経路") m.PROD = pyo.Set(m.ORIG, doc="製品") m.PRODALL = pyo.Set( initialize=lambda m: sorted({p for i in m.ORIG for p in m.PROD[i]}), doc="全製品") m.capacity = pyo.Param(m.ORIG, within=pyo.NonNegativeReals, doc="生産可能量") m.demand = pyo.Param(m.DEST, m.PRODALL, within=pyo.NonNegativeReals, doc="需要量") m.cost = pyo.Param(m.ARCS, within=pyo.NonNegativeReals, doc="輸送費用") m.weight = pyo.Param(m.PRODALL, within=pyo.NonNegativeReals, doc="製品重量") # ---- 変数 ---m.FlowIndex = pyo.Set( dimen=3, initialize=lambda m: ((i,j,p) for (i,j) in m.ARCS for p in m.PROD[i])) m.Flow = pyo.Var(m.FlowIndex, within=pyo.NonNegativeReals) 20 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 21 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3WL832E5.jpg) Pyomoのコード例（続き） # ---- 目的関数：費用最小化 ---def _obj_rule(mm): return sum(mm.cost[i, j] * mm.weight[p] * mm.Flow[i, j, p] for (i, j, p) in mm.FlowIndex) m.Total_Cost = pyo.Objective(rule=_obj_rule, sense=pyo.minimize) # ---- 制約1：需要制約 ---def _demand_rule(mm, j, p): return sum(mm.Flow[i, j, p] for i in mm.ORIG if (i, j) in mm.ARCS and p in mm.PROD[i]) == mm.demand[j, p] m.Demand_Req = pyo.Constraint(m.DEST, m.PRODALL, rule=_demand_rule) # ---- 制約2：容量制約 ---def _cap_rule(mm, i): return sum(mm.Flow[ii, j, p] for (ii, j, p) in mm.FlowIndex if ii == i) <= mm.capacity[i] m.Capacity_Limit = pyo.Constraint(m.ORIG, rule=_cap_rule) 21 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 22 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDKNM467G.jpg) Pyomoのコード例（続き） model = m.create_instance({ None:{ 'ORIG': {None: ORIG}, 'DEST': {None: DEST}, 'ARCS': {None: ARCS}, 'PROD': {i: list(PROD[i]) for i in ORIG}, 'capacity': capacity, 'cost': cost, 'demand': demand, 'weight': weight, } } ) 抽象モデルにデータを設定して 具体モデルを生成 # -----ソルバーを設定して実行----solver = pyo.SolverFactory("gurobi") res = solver.solve(model) 22 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 23 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7PK5RVZJ8.jpg) モデルとデータの分離 ◼ AMPL と Pyomo は抽象モデルと具体モデルを区別する （Gurobipy や PuLP には抽象モデルの概念はない） ⚫ ⚫ ⚫ 保守性が高い チーム開発に適している モデルに集合やパラメータの情報を含むため，データの整合性 チェックの実現が容易（後述） ◼ AMPL vs Pyomo ⚫ AMPL：可読性・操作性に優れる   ⚫ Pyomo：拡張性に優れる   23 独自の代数的言語により，直感的で簡潔な表現が可能（後述） モデルとデータを言語レベルで分離 Pythonで完結可能 複雑な制約もPython関数として柔軟に定義可能 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 24 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JVVPRZMJQ.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 AMPLのインスタンス生成は高速 ⚫ ⚫ C++ による実装 大規模の場合，AMPL は Pyomo と比較して数十～百倍以上高速 との報告あり ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 24 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 25 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EGLPM4XJL.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 25 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 26 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQY2RG57P.jpg) 集合 set ◼ モデル内の要素の集合を表す 例：製品，期間，場所，原材料 ⚫ 各要素は「文字列」または「数値」 ⚫ ◼ モデルの基本的なインデックス（添え字）を定義する ⚫ 多くのパラメータ，変数，制約等は，何らかの集合上で インデックス付けされる set PRODUCTS; # 製品集合 set RESOURCES; # 資源集合 26 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 27 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K74WL85VE1.jpg) パラメータ param ◼ モデル内の既知の定数を表す 例：コスト，容量，需要，係数 ⚫ 主に「数値」であるが，「文字列」も可（symbolic） ⚫ ◼ スカラーまたはインデックス付きとして定義 ⚫ 複数のインデックス（多次元）も可 param production_capacity; set PRODUCTS; param demand {PRODUCTS}; 27 # 生産能力（スカラー） # 各製品の需要量 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 28 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1YL2W4EG.jpg) 決定変数 var ◼ モデルが決定すべき未知の値を表す 例：生産量，輸送量，割当て（0 または 1） ⚫ 最適化計算によって値が定まる ⚫ ◼ インデックス付けが可能（パラメータと同様） set PRODUCTS; var Produce {PRODUCTS}; # 各製品の生産量 set LOCATIONS; set CUSTOMERS; var Transport {PRODUCTS, LOCATIONS, CUSTOMERS}; # 各製品の各拠点から各顧客への輸送量 28 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 29 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWGVR6Z72.jpg) 決定変数 var ◼ 型指定：整数変数（integer），バイナリ変数（binary） ◼ 上下限制約： >= lower_bound：下限 ⚫ <= upper_bound：上限 ⚫ = fixed_value：固定値 ⚫ param max_production {PRODUCTS}; param min_batch_size {PRODUCTS}; var Produce {p in PRODUCTS} >= min_batch_size[p], <= max_production[p]; var Build {LOCATIONS} binary; var NumWorkers {LOCATIONS} integer, >= 0; 29 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 30 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZL4RYL73.jpg) 目的関数 maximize/minimize ◼ 最適化（最大化または最小化）したい指標 ◼ 変数とパラメータを用いた数式で表現される set PRODUCTS; param unit_profit {PRODUCTS}; param unit_cost {PRODUCTS}; var Produce {PRODUCTS} >= 0; # Example 1: Maximize total profit maximize TotalProfit: sum {p in PRODUCTS} unit_profit[p] * Produce[p]; # Example 2: Minimize total cost minimize TotalCost: sum {p in PRODUCTS} unit_cost[p] * Produce[p]; 30 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 31 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76W3RDM7V.jpg) 目的関数 maximize/minimize ◼ 式の表現 算術演算子（+, -, *, /, ^ など） ⚫ 総和（sum {index_set} expression） ⚫ 積（prod {index_set} expression） ⚫ 組み込み関数（exp, log, sqrt, abs, sin, cos など） ⚫ 条件（if condition then expr1 else expr2） ⚫ maximize ComplexObjective: sum {i in I} profit[i] * X[i] - sum {j in J} cost[j] * Y[j]^2; 31 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 32 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75ML83Q74.jpg) 制約 subject to ◼ モデルの解が満たすべき条件や制限 例：リソースの制限，需要の充足，物理的な制約 ⚫ インデックス付けが可能 ⚫ # 等式制約 subject to ProductionTarget: sum {p in PRODUCTS} Produce[p] = total_production_target; # 各資源の資源制約 subject to ResourceLimit {r in RESOURCES}: sum {p in PRODUCTS} usage[r,p] * Produce[p] <= availability[r]; 32 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 33 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J29LKZWER.jpg) インデックス付き集合 ◼ 他の集合の要素によってインデックス付けされる集合 ⚫ 例：各製品を製造するために必要な部品の集合 set PRODUCTS; set PARTS_NEEDED {PRODUCTS}; 33 # 各製品に必要な部品集合 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 34 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEY4QNR9JM.jpg) 順序付き集合 ordered ◼ 要素に順序のある集合 ⚫ 例：期間，ステップ ⚫ first(), last(), next(), prev(), ord() などの関数が 利用可能 ⚫ 循環構造をもたせることも可能 （circular） set PERIODS ordered; # 期間の集合 param initial_inventory {PRODUCTS}; # 各製品の初期在庫量 var Inventory {PRODUCTS, PERIODS}; subject to InventoryBalance {p in PRODUCTS, t in PERIODS: t != first(PERIODS)}: Inventory[p,t] = Inventory[p, prev(t)] + ... ; 34 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 35 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJNYKXDD78.jpg) 順序対集合 ◼ 順序対を要素とする集合 ⚫ 例：ODペア ◼ ３つ組以上を要素とすることも可能 set ORIG; # origins set DEST; # destinations set LINKS = {ORIG,DEST}; #set LINKS dimen 2; # ２次元要素の集合であることを宣言する場合 param cost {LINKS} >= 0; # shipment costs per unit var Trans {LINKS} >= 0; # units to be shipped minimize Total_Cost: sum {(i,j) in LINKS} cost[i,j] * Trans[i,j]; 35 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 36 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9PV8G8J3.jpg) 集合に関する演算 ◼ 集合演算 ⚫ union：和集合 ⚫ inter：積集合 (共通部分) ⚫ diff：差集合 ⚫ symdiff：対称差集合 set A := 1 2 3; set B := 3 4 5; A union B; A inter B; A diff B; B diff A; A symdiff B; 36 # {1, 2, 3, 4, 5} # {3} # {1, 2} # {4, 5} # {1, 2, 4, 5} © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 37 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE8DP8VZED.jpg) パラメータ：計算パラメータ ◼ パラメータの値を，他のパラメータや定数から計算に よって定めることができる ⚫ データファイルで値を上書きすることはできない param unit_cost; # 価格（税抜き） param tax_rate; # 税率 param total_cost := unit_cost * (1 + tax_rate); # 税込価格 unit_cost = 12 tax_rate = 0.10 のとき， total_cost = 12 * (1 + 0.10) = 13.2 37 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 38 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LELM1R517R.jpg) パラメータ：デフォルト値 ◼ 宣言時にデフォルト値を指定できる（default） ⚫ 同じデータ（値）を指定する手間の削減 set PRODUCTS; param tax_rate {PRODUCTS} default 0.05; # デフォルト値は5% tax_rate[WidgetA] = 0.08 のみが設定されているとき， tax_rate[WidgetB] = 0.05 38 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 39 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JMYWR35JW.jpg) 条件付きインデックス ◼ インデックス付けやsum等の演算において， 対象とするインデックスを条件で絞ることができる ◼ 算術・論理演算 ⚫ ⚫ ⚫ ⚫ if-then-else, or, and, exists, forall, not, in, not in <, <=, =, <>, >, >= sum, prod, min, max +, -, *, /, div, mod, ^ set NUTREQ = {i in NUTR: i in MAXREQ or n_min[i] > 0}; #set NUTREQ = MAXREQ union {i in MINREQ: n_min[i] > 0}; subject to Balance {p in PROD, t in WEEKS: ord(t) > 1}: Make[p,t] + Inv[p,prev(t)] = Sell[p,t] + Inv[p,t]; 39 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 40 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJR9YRQZ79.jpg) データの整合性 ◼ 宣言時指定 within：集合が，別の集合の部分集合であることを明示 ⚫ in：パラメータが，ある集合の要素であることを明示 データの整合性を保つのに役立つ ⚫ set LOCATIONS; set ORIGINS within LOCATIONS; param ORIGIN symbolic in LOCATIONS; LOCATIONS = {London,Paris,Berlin} のとき，以下の操作はエラー 40 ⚫ ORIGINS に {London,Tokyo} を設定 ⚫ ORIGIN に Tokyo を設定 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 41 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXQGR51JX.jpg) データの妥当性チェック ◼ データが満たすべき条件を記載（check） データ読み込み時にチェックが行われる param supply {ORIG} >= 0; param demand {DEST} >= 0; check: sum {i in ORIG} supply[i] = sum {j in DEST} demand[j]; param S > 0; param prob {1..S} >= 0, <= 1; check: 0.99999 < sum {s in 1..S} prob[s] < 1.00001; 41 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 42 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EK94R6MED.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 直感的かつ豊富な構文 ⚫ AMPL記法に慣れる必要はある ただし，学習コストはそれほど高くない ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 42 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 43 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73WL86275.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 43 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 44 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DKNMV6JG.jpg) 自動再定式化機能（MPライブラリ） ◼ モデリングにおける多様な表現を実現 ソルバーが非対応の場合，適宜，自動的に再定式化が行われる （式変形・変数追加など） ⚫ 条件演算子：if-then-else, ==>, <==, <==> ⚫ 論理演算子：or, and, not, exists, forall ⚫ 区分線形関数・演算子：<<breakpoints; slopes>>, abs, min, max ⚫ 計数演算子：count, atmost, atleast, exactly, numberof ⚫ 比較演算子：>, <, !=, alldiff ⚫ 相補性演算子：complements ⚫ 非線形演算子・関数：*, /, ^, exp, log, sin, cos, tan ⚫ 離散領域：in Fourer, Belov, Brandão, Advances in Model-Based Optimization with AMPL, ICCOPT2022. 44 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 45 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJPK5RRZE8.jpg) 例：固定費用 var Flow {(i,j) in ARCS, p in PROD[i]} >= 0; ⚫ 線形定式化 var Use {ARCS} binary; sum {(i,j) in ARCS} fix_cost[i,j] * Use[i,j]; subject to Arc_capacity {(i,j) in ARCS}: sum {p in PROD} Flow[i,j,p] <= arc_cap[i,j] * Use[i,j]; ⚫ より自然な定式化―バイナリ変数不要 sum {(i,j) in ARCS} if sum {p in PROD} Flow[i,j,p] > 0 then fix_cost[i,j] 45 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 46 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EVVPRRMEQ.jpg) 例：最小流量 一定量に満たない量を流すことが許されない場合 ⚫ 線形定式化 sum {p in PROD} Flow[i,j,p] >= min_amount * Use[i,j]; sum {p in PROD} Flow[i,j,p] <= arc_cap[i,j] * Use[i,j]; ⚫ より自然な定式化―バイナリ変数不要 sum {p in PROD} Flow[i,j,p] = 0 or min_amount <= sum {p in PROD} Flow[p,i,j] <= arc_cap[i,j] 46 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 47 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57GLPMMXEL.jpg) 例：本数制限 流量が正のアークの本数に制限がある場合 ⚫ 線形定式化 sum {(i,j) in ARCS} Use[i,j] <= max_arcs; ⚫ より自然な定式化―バイナリ変数不要 atmost max_arcs {(i,j) in ARCS} (sum {p in PROD} Flow[p,i,j] > 0); 47 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 48 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQY2RR5JP.jpg) 例：区分線形費用 <<breakpoint-list; slope-list>> ⚫ abs, min, max ⚫ minimize Total_Cost: sum {(i,j) in ARCS} <<{k in 1..npiece[i,j]-1} limit[i,j,k]; {k in 1..npiece[i,j]} rate[i,j,k]>> Flow[i,j]; rate[i,j,3] rate[i,j,2] rate[i,j,1] limit[i,j,1] limit[i,j,2] 48 Flow[i,j] © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 49 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ4WL88V71.jpg) 例：離散領域 ⚫ var-in var Flow {(i,j) in ARCS} in {0} union interval[min_amount,arc_cap[i,j]]; Flow[i,j] 0 49 min_amount arc_cap[i,j] © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 50 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1YL2247G.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 開発プロセスにおける ⚫ 問題設定の見直し ← 要件定義 ⚫ 定式化 ← ソルバー対応の形式で表現 に要する手間・時間を軽減 ◼ 非線形問題への対応 50 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 51 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWGVRRZJ2.jpg) AMPLの主な特長 ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 51 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 52 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZL4RRLJ3.jpg) 非線形問題への対応 ◼ 直感的，数学的な記述が可能 subject to SineConstraint: y = sin(x); ⚫ ⚫ Gurobipy の場合：m.addGenConstrSin(x, y) Pyomo の場合：m.y == pyo.sin(m.x) ◼ 自動微分機能 非線形最適化で求められる１次導関数（勾配）・２次導関数 （ヘッセ行列）を自動微分で計算し，ソルバーに提供 ⚫ 解析的で正確（有限差分法などの数値的な近似手法でない） ⚫ Pyomo には微分計算は内蔵されていない（別途パッケージが必要） ◼ 区分線形関数による近似（線形最適化ソルバーの場合） ⚫ 変換が自動的に行われるが，誤差が発生する点に注意 52 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 53 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6W3RRMJV.jpg) AMPLの主な特長（再掲） ◼ ソルバー非依存 ◼ モデルとデータの分離 ◼ 高速なインスタンス生成 ◼ 可読性と表現力に優れた記法 ◼ 自動再定式化機能 ◼ 非線形問題への対応 53 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 54 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5ML88QJ4.jpg) AMPLライセンス ◼ ライセンスなし 変数・制約数，機能に制限あり ◼ Community Edition 無料，商用利用不可／開発目的可 ⚫ オープンソース・ソルバーがバンドル ⚫ 商用ソルバーのトライアル版も利用可能 ◼ 商用ライセンス 各種ライセンス形態あり ◼ アカデミックライセンス 教育・研究目的で無料／割引 54 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 55 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3WL88ZE5.jpg) 開発・実行環境 ◼ AMPL IDE ◼ コマンドラインインタフェース ◼ VS Code 拡張機能 ◼ 各種API：Python, R, … など 55 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 56 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDKNMM47G.jpg) 学習リソース ◼ AMPL公式サイト（https://ampl.com/） ⚫ 各種ドキュメント，ダウンロード，ブログ，例題など ◼ AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming, by R. Fourer, D.M.Gay and B.W. Kernighan ⚫ ⚫ AMPLのバイブル．詳細な解説と多数の例題 AMPL公式サイトからダウンロード可能 ◼ AMPL Discourse （https://discuss.ampl.com/） ⚫ 56 質問したり，他のユーザーと議論したりする場 © 2025 MOAI Lab Inc. # Page. 57 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7PK5RRVJ8.jpg) おわりに 数理最適化モデリングツール AMPL の紹介 ◼ amplpy による Python エコシステムとの融合 ◼ とくに産業応用の場において 最適化ソリューション開発プロセスの効率性 ⚫ システムの保守性・操作性・拡張性・安定性 の観点でメリット ⚫ 57 © 2025 MOAI Lab Inc.