臨床工学技士国家試験・ME2種フィルタ回路まとめ

臨床工学技士国家試験 ME2種 フィルタ回路まとめ 藤田 一寿

ポイント • コンデンサ，コイルを使ったフィルタ • CRフィルタ：コンデンサは積分（ローパス），抵抗は微分（ハイパス） • グラフでイメージを掴む • コンデンサは電荷を徐々に貯めるから，徐々に電圧が上がる． # ! " # ! " • 充電時の電圧変化は𝑉! = 𝑉" (1 − 𝑒 ), 𝑉$ = 𝑉" 𝑒 ，放電時は逆 • LRフィルタはコンデンサと逆 • カットオフ周波数 • • " CRフィルタ：𝑓! = #$%& " LRフィルタ：𝑓! = #$'/& VR • 時定数 • CRフィルタ：𝜏 = 𝐶𝑅 • LRフィルタ：𝜏 = 𝐿/𝑅 ⼊⼒Vi R C Vc

ポイント • 増幅回路にコンデンサを加えるとフィルタができる． • コンデンサのインピーダンスの大きさは1/𝜔𝐶だから，周波数に対し反 比例する． • 入力が低周波数のとき，コンデンサのインピーダンスは高い．このとき， コンデンサを開放（抵抗が無限大）と考えればローパスフィルタの回路は 単なる反転増幅回路とみなせる． • 入力が高周波数のとき，コンデンサのインピーダンスは低い．このとき， コンデンサを短絡（抵抗が0）と考えればハイパスフィルタは単なる反転増 幅回路とみなせる． 問題 55 図の回路について正しいのはどれか。 問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 ただし、A は理想演算増幅器とする。 ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 Cf R2 • カットオフ周波数 • 𝑓! = Rf " #$%! &! - R1 Ri Vi A Vi C + A Vo Vo 1．R 1 2．R 1 + R 2 Rf 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = V である。 3． 1 Ri i j~C 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。 ローパスフィルタ ハイパスフィルタ

フィルタ

フィルタとは • 不要な周波数成分を取り除き，必要な周波数成分のみこし取る（フィ ルタをかける） • ノイズの除去 • 必要な音だけ取る ノイズを含む信号 ノイズを含まない信号 フィルタ ノイズを取り除く 汚れた⽔ 綺麗な⽔ 浄⽔器

パッシブフィルタ

フィルタの種類 • ローパスフィルタ（LPF） • 低周波数成分のみを通過させるフィルタ • ハイパスフィルタ（HPF） • 高周波数成分のみを通過させるフィルタ • バンドパスフィルタ（BPF） • ある周波数領域の成分のみ通過させるフィルタ

LCRを使ったフィルタの例 • ローパスフィルタ（低域通過フィルタ） • 信号の低周波数成分を通過させるフィルタ • ハイパスフィルタ（高域通過フィルタ） • 信号の高周波数成分を通過させるフィルタ 典型的なフィルタ回路 ローパスフィルタ ハイパスフィルタ キャパシタとインダクタの場所が⼊れ替わっている．キャパシタとインダクタの電流の周波 数に対する性質が逆だから．

RCローパスフィルタの直感的理解 Vr 1 ⼊⼒Vi Vr 2 R ⼊⼒Vi Vc R Vc C C VcはCのインピーダンスの⼤きさが⼤きければ⼤き いほど⼤きくなる． ⼊⼒ViはVrとVcに分けられる（分圧）． 4 Vr 3 ⼊⼒Vi Vr R Vc C Cのインピーダンスは1/jωCなので，Viの周波数が 低ければ低いほどCのインピーダンスの⼤きさは⼤ きくなる．つまり，Viの周波数が低ければ低いほど Vcは⾼い． ⼊⼒Vi R Vc＝出⼒Vo C 出⼒VoはVcは並列の関係なので等しい．つまりVoも周波数が低けれ ば低いほど⼤きく，⾼ければば⼩さい．⾒⽅を変えると，この回路は 周波数が低い⼊⼒を通しやすいといえる（ローパスフィルタ）．

)AM23*!+ VNtOe 50 [email protected]/ 50PFlmCHno!UKLM10H
N1O 50W N2O 100W N3O 180W N4O 250W N5O 350W

演習解説

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(1)

(2)

(4)

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N1
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演習解説

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N3O図のフィルタは，ローパスフィルタである．選択肢の中でローパスフィルタは4である．
25
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パッシブフィルタと周波数特性

RCフィルタ

RCローパスフィルタ • 抵抗RとコンデンサCで構成されるローパスフィルタの回路は図のよう になる． • RC直列回路のコンデンサにかかる電圧を出力として取り出したものと 言える．

ゲインの計算 • この回路はRC直列回路となっているので，Voutは ̇ = • 𝑉!"# ! "#$ ! $%"#% ( ̇ ̇ 𝑉&' = (%)*$+ 𝑉&' • Voutに対するVinの比をゲインGとすると •𝐺= ̇ ,&'( ̇ ,)* = ! "#% ! $%"#% = ( (%)*$+ = ( (%*+ $+ + + • Voutの位相のずれθoutは • 𝜃!"# = − tan.( 𝜔𝑅𝐶 = − tan.( 2𝜋𝑓𝑅𝐶 • ゲインGがフィルタの特性を表す． 𝑉"# 𝑉$%&

RCローパスフィルタの周波数特性 • 周波数に対するゲインと位相差の変化の特性を周波数特性と言う．周 波数特性はフィルタの特性を知る上で重要なものである． ゲイン R=100Ω，C=0.022μF 位相差

RCローパスフィルタの周波数特性 • ファルタの出力が1/ 2（おおよそ-3dB）になる周波数をカットオフ周 波数（遮断周波数）という． ローパスフィルタの利得の例 信号を通過 信号を遮断 (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%AE%E6%96%AD%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0)

カットオフ周波数 • ゲインが1/ 2のときの周波数fをカットオフ周波数fcと言う． • ,,̇ ̇ ,)* = ( (% *+$ + • カットオフ周波数のとき出力の振幅の大きさは入力の • 1 + 𝜔0 𝐶𝑅 / =2 • よってカットオフ周波数fcは • • ( 𝜔0 = +$ = ( 𝑓0 = /1+$ 2𝜋𝑓0 ( だから /

デシベル • ゲインの大きさは通常デシベル[dB]で表される． • デシベルは次のように定義される． • RCローパスフィルタではデシベルで表されるゲインgは • となる． • カットオフ周波数がfcのとき，ゲイン[dB]は約-3[dB]となる．

RCハイパスフィルタ • コンデンサを用いることでハイパスフィルタを作ることができる．回 路図を見てみると分かる通り，ローパスフィルタのCとRを入れ替えた 回路になっている． • 特性もRCローパスフィルタの逆になる．

問題解説 • 図の回路で，ある周波数fでの減衰量は-40dBであった．fの10倍の周 波数における減衰量[dB]はどれか．(第39回ME2種) 1. -4 2. -20 3. -60 4. -80 5. -400

問題解説 • 図の回路で，ある周波数fでの減衰量は-40dBであった．fの10倍の周 波数における減衰量[dB]はどれか．(第39回ME2種) 1. -4 20 log!" 2. -20 3. -60 4. -80 5. -400 1 + 2𝜋𝑓𝐶𝑅 & 𝑉#̇ 1 = = 100 𝑉$%̇ = 10000 𝐶𝑅 & 𝑉#̇ = −40 𝑉$%̇ 1 1 + 2𝜋𝑓𝐶𝑅 = & 9999 4𝜋 &𝑓 & 任意の周波数fʼのときのゲインは 𝑉#̇ 1 = 𝑉$%̇ 9999 1 + 𝑓 '& & 𝑓 よって fʼ=10fのときのゲインgは 𝑉#̇ 1 1 1 1 = = ≅ = 𝑉$%̇ 1 + 999900 999901 1000000 1000 1 𝑔 = 20log!" = −60 1000 今回は 2𝜋𝑓𝐶𝑅 &が⼗分⼤きい から分⺟の1を無視して計算し ても良い．

RLフィルタ

LRローパスフィルタ • ローパスフィルタはコンデンサを用いたCRローパスフィルタのみでは なく，インダクタを用いたLRローパスフィルタも存在する． • インダクタはコンデンサと性質が逆なので，素子の位置も逆になる．

ゲインの計算 • この回路はRL直列回路となっているので，Voutは $ ̇ • 𝑉!"# = $%)*2 𝑉&'̇ = ( "#A (% B 𝑉&'̇ • Voutに対するVinの比をゲインGとすると ,&'( $ ( ̇ • 𝐺 = | , ̇ | = $%)*2 = + + # A B+ )* (% • Voutの位相のずれθoutは • 𝜃!"# = $ .( − tan *2 = − tan./ $ /132 • ゲインGがフィルタの特性を表す．

カットオフ周波数 • ゲインgが1/ 2のときの周波数fをカットオフ周波数fcと言う． •𝐺= ̇ ,&'( ̇ ,)* = ( #+ A + (% + B • カットオフ周波数のとき出力の振幅の大きさは入力の • 1+ *, 2 / $ =2 • よってカットオフ周波数fcは • • $ 𝜔0 = 2 = $ 𝑓0 = /12 2𝜋𝑓0 ( だから /

LRローパスフィルタの周波数特性 R=100Ω，L=0.022μH

LRハイパスフィルタ • コイルを用いることでハイパスフィルタを作ることができる．回路図 を見てみると分かる通り，ローパスフィルタのLとRを入れ替えた回路 になっている．

RLCフィルタ

RLCフィルタ • RLCフィルタは抵抗，コイル，コンデンサを一つづつ用いたフィルタ である． • RLCフィルタは，回路の構成によりローパスフィルタ，ハイパスフィ ルタ，バンドパスフィルタを実現できる． R=100Ω，C=10μF，L=0.022μH

問題解説 • 入力信号Viの周波数が無限大になっても出力信号Voが0にならない回 路はどれか．(第37回ME2種)

問題解説 • 入力信号Viの周波数が無限大になっても出力信号Voが0にならない回 路はどれか．(第37回ME2種) 周波数が無限⼤になると，インダクタはインピーダ ンス無限⼤になる．よって，⼊⼒にインダクタがつ いている１，２，３は間違いである． ⼀⽅，コンデンサのインピーダンスは0になる． 5は抵抗とコンデンサが並列につながっているため ，周波数無限⼤になると，コンデンサが短絡状態に なり，Voは0となる． 4はコンデンサが短絡状態になっても抵抗があるた め抵抗で電圧降下が起こりVoは値を持つ．

アクティブフィルタ 余裕がない⼈は，カットオフ " 周波数は 𝑓! = と覚える． #$%&

アクティブフィルタとは • オペアンプのような能動素子を用いたフィルタ 問題 55 図の回路について正しいのはどれか。 問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 ただし、A は理想演算増幅器とする。 ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 Cf R2 Rf - R1 Ri C Vi A + A Vo Vi 1．R 1 Rf 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = V である。 Ri i ローパスフィルタ 1 3． j~C 1 である。 2r R i C f 4．R 1 + 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。 3．遮断周波数は 2．R 1 + R 2 1 カットオフ周波数 4．入力インピーダンスは無限大である。 2𝜋𝑅' 𝐶' 5．出力インピーダンスは無限大である。 5．R 1 1 j~C ハイパスフィルタ 1 1 + R カットオフ周波数 + 2𝜋𝑅(𝐶 j~C 2 Vo

理想オペアンプの重要な性質 • 増幅度は無限大 • いくらでも増幅できる． • 2つの入力端子の入力インピーダンスが無限大 重要!! • 入力端子に電流は入っていかない． • 出力インピーダンスが0 • いくらでも電流を供給できる． • どのような周波数の信号でも同じように増幅する． + ⼊⼒端⼦は同じ電圧 • イマジナリショート（バーチャルショート，仮想短絡） • 反転端子と非反転端子はショートしている（同じ電圧）と考えて良い． 太字の2点を使いこなせればオペアンプの問題は⼤体解ける！！ 電

反転増幅回路を元にしたアクティブフィルタ • 図は反転増幅回路を元にしたアクティブフィルタである． • このフィルタの周波数特性も，反転増幅回路と同様に，イマジナリシ ョートを使い求められる． ただし、A は理想演算増幅器とする。 問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 問題 55 図の回路について正しいのはどれか。 Cf ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 Rf R2 Ri - R1 A Vi C + A Vo Vi 1．R 1 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = - Rf V である。 Ri i ローパスフィルタ 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。 1 2．R 1 + R 2 3． 1 j~C ハイパスフィルタ Vo

ローパスフィルタ 問題 55 図の回路について正しいのはどれか。 ただし、A は理想演算増幅器とする。 Cf • ローパスフィルタの出力Voは • 𝑉! = − $C ((.)*$C +C ) + $) ((% *$C +C ) Rf 𝑉& Ri A • ゲインは • ,& |,) | = Vo Vi $C ((.)*$C +C ) + $) ((% *$C +C ) = $C $) ( (% *$C +C 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = - + Rf V である。 Ri i 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。 3．遮断周波数は 1 である。 2r R i C f 4．入力インピーダンスは無限大である。 • 𝜔が小さければ小さいほどゲインは大きいので，このフィルタはローパ スフィルタである式から事がわかる． • また，反転増幅回路の増幅とフィルタ機能は掛け算になっていること もわかる． 5．出力インピーダンスは無限大である。 • 入力が十分低周波数の場合，式のフィルタ部分はほぼ1となるので，反転増 幅回路と同じと考えることができる．

カットオフ周波数 問題 55 図の回路について正しいのはどれか。 ただし、A は理想演算増幅器とする。 • ,& |,) | = $C $) Cf ( (% *$C +C + Rf Ri • アクティブフィルタのカットオフ周波数は ( ( = /となる周波数である． (% *$C +C Vo Vi + • よって，カットオフ周波数fcは • 𝑓0 = A ( /1+C $C 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = - 𝑅! 𝑅" Rf V である。 Ri i 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。 3．遮断周波数は 1 である。 2r R i C f 4．入力インピーダンスは無限大である。 5．出力インピーダンスは無限大である。 21 ◇M1 ― 2

ハイパスフィルタ 問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 • ハイパスフィルタの出力は • 𝑉! = R2 )*+$+ − (%)*+$ 𝑉& ! • ゲインは •𝑔= ,& |,) | = - R1 C Vi + A Vo +$+ ! + $+ %+ ! #+ 1．R 1 2．R 1 + R 2 1 • ωが大きくなればなるほどゲインは大きくなるので，この回路はハイ 3． j~C パスフィルタであることがわかる． 1 4．R 1 + j~C • 入力が十分に高い周波数の場合，ゲインは𝑅//𝑅 とみなせるので，反転 1 ( 5．R + R + j~C 増幅回路と同じと考えることができる． 1 2

ハイパスフィルタのカットオフ周波数 • カットオフ周波数は • +$+ ! + $+ %+ ! #+ • 2𝐶 /𝑅// • 𝜔/ •𝜔 = = ( / ( *+ + 𝐶 /𝑅(/ ( = + + $+ ( = +$, 𝑓 問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 = ( /1+$ ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 R2 - R1 Vi C + A Vo

問題 • 図のように反転増幅器にステップ電圧を入力した（𝑡 = 0でスイッチを 入れる）．出力電圧𝑉! はどれか．ただしコンデンサCの電化の初期値は 0とする．(第32回ME2種)

問題 • 図のように反転増幅器にステップ電圧を入力した（𝑡 = 0でスイッチを 入れる）．出力電圧𝑉! はどれか．ただしコンデンサCの電化の初期値は 0とする．(第32回ME2種) 𝐼 𝐼 スイッチがオンになった瞬間からコンデンサに電荷がたまり始め るため，電流𝑰が流れる．⼗分時間がたつと，コンデンサに⼗分電 荷がたまり電流 𝑰 が流れなくなる．この電流𝐼とフィードバックの 抵抗𝑅の積−𝑰𝑹が出⼒電圧𝑽𝒐 となる． よって答えは１となる． 電流の変化と合致する選択肢は，１か２である．この回路は反転 増幅回路なので⼊⼒と出⼒の符号は逆である．出⼒が負となって いる選択肢は，1か4である．2つの条件を満たすのは1である．

問題 • 図の回路の入力インピーダンスはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器 問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 とし，各周波数をω，虚数単位をjとする．（33回） 1. 𝑅( 2. 𝑅( + 𝑅/ 3. ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 R2 ( )*7 4. ( 𝑅( + )*+ 5. ( 𝑅( + 𝑅/ + )*+ - R1 Vi 1．R 1 2．R 1 + R 2 3． 1 j~C 4．R 1 + 1 j~C C + A Vo

問題 52 図の回路の入力インピーダンスはどれか。 問題 ただし、A は理想演算増幅器とし、角周波数を ~、虚数単位を j とする。 • 図の回路の入力インピーダンスはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とし，各周波数をω，虚数単位をj とする．（33回） R2 イマジナリショートよ 1. 𝑅# り，入力端子は短絡し 2. 𝑅# + 𝑅$ ている，と考える． 3. 4. 5. # %&' 𝑅# + - R1 # Vi %&( 𝑅# + 𝑅$ + C + A # %&( 1．R 1 イマジナリショートを考えれば，オペアンプの入力端子はそれぞれ接地していると考えられる． 2．R 1 + R 2 つまり，入力から見れば，この回路はR1と Cの直列回路に見える． 1 よって，入力インピーダンスは 3． 1 j~C 𝑅# + 𝑗𝜔𝐶 1 4．R 1 + j~C Vo

問題 • 図の回路について，正しいのはどれか．Aは理想演算増幅器とする．( 国家試験27) a. b. c. d. e. 時定数は20msである． 通過域での増幅度は20dBである． 直流成分はカットされる． コンデンサ𝐶"と抵抗𝑅#に流れる電流は等しい． 入力インピーダンスは抵抗𝑅"と𝑅#で決まる．

問題 • 図の回路について，正しいのはどれか．Aは理想演算増幅器とする．( 国家試験27) a. b. c. d. e. 時定数は20msである． 通過域での増幅度は20dBである． 直流成分はカットされる． コンデンサ𝐶"と抵抗𝑅#に流れる電流は等しい． 入力インピーダンスは抵抗𝑅"と𝑅#で決まる． a. 時定数は10×10+×1×10,- = 1×10,.𝑠 = 10𝑠なので間違い． b. 通過域ではコンデンサは無視できる．反転増幅回路の増幅度は .//0 20 log(/ (/0 = 20 log(/ 20である．よって間違い． c. コンデンサは直流を通さないので直流はカットされる．よって正し い． d. ⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので，コンデンサに流れる電流がR2 にも流れる．よって正しい． e. ⼊⼒インピーダンスは𝑅(と𝐶(で決まるので間違い．

問題 • 図の回路について正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とす る．（34回） $C 1. 遮断周波数より十分低い帯域では𝑉! = − $ 𝑉& である． 問題 55 )図の回路について正しいのはどれか。 ただし、A は理想演算増幅器とする。 2. 遮断周波数より十分低い帯域では微分特性を有する． 3. 遮断周波数は ( である． /1$C +C Cf Rf 4. 入力インピーダンスは無限大である． Ri 5. 出力インピーダンスは無限大である． A Vo Vi 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = - Rf V である。 Ri i 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。

問題 55 図の回路について正しいのはどれか。 問題 ただし、A は理想演算増幅器とする。 Cf • 図の回路について正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．（34回） )# 1. 遮断周波数より十分低い帯域では𝑉( = − ) 𝑉$ である． 2. 遮断周波数より十分高い帯域では微分特性を有する． 3. 遮断周波数は Rf $ Ri ! である． &*)$ +# 4. 入力インピーダンスは無限大である． 5. 出力インピーダンスは無限大である． A Vo Vi R f 1．遮断周波数より十分に低い帯域では V o = V である。 1. 十分低い周波数の波の場合，Cfは開放とみなせるので，この回路は反転増幅回路とみなせる．つまり，出力 Ri i *! 電圧は 𝑉) = − 𝑉+ となる．よって正しい． 2．遮断周波数より十分に高い帯域では微分特性を有する。 *" 1 2. イマジナリショートから，VoはCfに加わる電圧とみなすことができる．コンデンサは電荷を蓄えながら徐々 3．遮断周波数は である。 2r R i C f に電圧を上げていく．つまり，積分しているとみなせる．よって間違い．（ローパスフィルタなので積分） 4．入力インピーダンスは無限大である。 ( 3. 遮断周波数は， である． よって間違い． .12! 3! 5．出力インピーダンスは無限大である。 4. イマジナリショートを考えれば，オペアンプの入力端子はそれぞれグランドに接続しているとみなせる．つま り，入力から見れば，抵抗Riのみ負荷がかかっている．よって，入力インピーダンスはRiである． よって間違い ． 5. 出力インピーダンスはオペアンプの出力インピーダンスと同じなので，0である． よって間違い．

問題 • 図の回路に置いて時刻𝑡 = 0sでスイッチを閉じた．出力電圧𝑉! の経過を 表す式はどれか．ただし，コンデンサの初期電荷はゼロとし，Aは理想 演算増幅器とする．(国家試験26) 1. 𝑉! = 2𝑡 2. 𝑉! = −2𝑡 3. 𝑉! = 0 4. 𝑉! = 5. 𝑉! = ( 𝑡 / ( −/𝑡

問題 • 図の回路において時刻𝑡 = 0sでスイッチを閉じた．出力電圧𝑉! の経過を 表す式はどれか．ただし，コンデンサの初期電荷はゼロとし，Aは理想 演算増幅器とする．(国家試験26) 1. 𝑉! = 2𝑡 2. 𝑉! = −2𝑡 3. 𝑉! = 0 4. 𝑉! = 5. 𝑉! = ( 𝑡 / ( −/𝑡 ⼊⼒インピーダンスが無限⼤なので，コンデンサに流 れる電流は抵抗に流れる電流と同じである． 抵抗に流れる電流は 𝑉" 1 1 𝐼= = = ×10,𝑅 2𝑀 2 また電流は定義から 𝑑𝑄 1 𝐼= = ×10,𝑑𝑡 2 𝑄 = 𝐶𝑉より 𝑑𝑉 1 𝐶× = ×10,𝑑𝑡 2 𝑑𝑉 1 = 𝑑𝑡 2 よって電流の向きを考慮すると 1 𝑉=− 𝑡 2