Causal Inference: What If, Ch1_1

Causal Inference: What If Chapter 1: A definition of causal effect ① Miguel A. Hernán and James M. Robins 鈴木 徳太 ※2023年5月14日更新版をもとに作成しています

Agenda Preface Individual causal effect Average causal effect F.P. 1.1: Interference F.P. 1.2: Multiple versions of treatment T.P. 1.1: Causal effect in the population 2

Preface 人間である以上、因果推論の基本的な概念は既に生得的に理解して いるはずである。実体験を通じ因果効果とは何か、関連と因果の違いが 何かを理解し、これまでの人生においてその知識を使用してきたはず である。もしそうでないのであればあなたは既に死んでいたであろう。 本章の目的：因果的な直感を数学的・統計学的の形式化 3

Agenda Preface Individual causal effect Average causal effect F.P. 1.1: Interference F.P. 1.2: Multiple versions of treatment T.P. 1.1: Causal effect in the population 4

Example ゼウス 1⽉1⽇ 1⽉6⽇ 現実 ⼼臓移植 死亡 神の啓⽰ ⼼臓移植 ⽣存 ヘラ 1⽉1⽇ 1⽉6⽇ 現実 ⼼臓移植 ⽣存 神の啓⽰ ⼼臓移植 ⽣存 5

Notation 𝐴：治療変数 (1: treated, 0: untreated) 𝑌：アウトカム (1: death, 0: survival) 𝑌 !"# ： 𝑎 = 1である場合のアウトカム 𝑌 !"$ ： 𝑎 = 0である場合のアウトカム ゼウス： 𝑌 !"# = 1, 𝑌 !"$ = 0 ヘラ ： 𝑌 !"# = 0, 𝑌 !"$ = 0 反事実アウトカム※ or 潜在アウトカム ※今後は反事実アウトカムでの統一 6

Individual causal effect 個別因果効果 （ICE; Individual Causal Effect）※ 𝐼𝐶𝐸 = 𝑌 !"# − 𝑌 !"$ 𝑌 !"# ≠ 𝑌 !"$ の場合、個別因果効果あり ゼウス：𝑌 !"# − 𝑌 !"$ = 1 (≠ 0) → 因果効果あり ヘラ ：𝑌 !"# − 𝑌 !"$ = 0 → 因果効果なし 一般に個別因果効果は識別不可（fundamental problem） ※Additive scaleでの因果効果 7

Consistency 一致性（Consistency）※ if 𝐴% = 𝑎, then 𝑌% ! = 𝑌% & = 𝑌% 特にAが二値であるとき 𝑌% = (1 − 𝐴% )𝑌% !"$ + 𝐴% 𝑌% !"# 治療を受けた場合 ：観測されたアウトカム𝑌は𝑌 !"# と等しい 治療を受けなかった場合：観測されたアウトカム𝑌は𝑌 !"$ と等しい ※添字の𝑖を省略する場合も 8

Agenda Preface Individual causal effect Average causal effect F.P. 1.1: Interference F.P. 1.2: Multiple versions of treatment T.P. 1.1: Causal effect in the population 9

Zeus’s family 前節のゼウスとヘラの例を拡張（右表） 反事実な死亡リスク Pr[𝑌 !"# = 1] = Pr 𝑌 !"$ = 1 = 0.5 いずれも死亡リスクは同じ（20名中10名が死亡） 二値アウトカムに対しては期待値と割合は等価 E[𝑌 !"#] = 1×Pr[𝑌 !"#＝1] + 0× Pr[𝑌 !"# = 1] 𝑌𝑎=0 𝑌𝑎=1 レイア 0 1 クロノス 1 0 デメテル 0 0 ハデス 0 0 ヘスティア 0 0 ポセイドン 1 0 ヘラ 0 0 ゼウス 0 1 アルテミス 1 1 アポロン 1 0 レートー 0 1 アレス 1 1 アテナ 1 1 ヘパイストス 0 1 アフロディーテ 0 1 サイクロプス 0 1 ペルセポネ 1 1 ヘルメス 1 0 へーベー 1 0 ディオニュソス 1 0

Average causal effect 平均因果効果 （ACE; Average Causal Effect）※ 𝐴𝐶𝐸 = 𝐸[𝑌 !"# ] − 𝐸[𝑌 !"$ ] 二値アウトカムに対し、Pr[𝑌 !"# = 1] ≠ Pr[𝑌 !"$ = 1]の場合 平均因果効果あり より一般にはE[𝑌 !"#] ≠ E[𝑌 !"$ = 1]の場合に平均因果効果あり 等号が成立する場合には、「平均因果効果が存在しない」という帰無仮説 が真である ※Additive scaleでの因果効果 11

Null hypothesis Fisher null hypothesis（Sharp null hypothesis） 全ての個人𝑖に対し 𝑌% !"# = 𝑌% !"$ Neyman null hypothesis E[𝑌 !"# ] = E[𝑌 !"$ ] 個⼈レベル ⺟集団レベル Fisher null hypothesisの成立 ⟹ Neyman null hypothesisの成立 12

Agenda Preface Individual causal effect Average causal effect F.P. 1.1: Interference F.P. 1.2: Multiple versions of treatment T.P. 1.1: Causal effect in the population 13

Fine Point 1.1 Interference Interference（干渉）がある場合のゼウスの潜在アウトカム※ 𝐴：ゼウスの治療、𝐵：ヘラの治療 𝑌 !"#,&"$ = 0, 𝑌 !"#,&"# = 1 1⽉1⽇ 1⽉6⽇ ⼼臓移植をヘラへ不実施 ⼼臓移植 死亡 ⼼臓移植をヘラへ実施 ⼼臓移植 ⽣存 ※母集団がゼウスとヘラの2名と仮定 14

Fine Point 1.2 Multiple versions of treatment ある治療のバージョンが複数存在する場合 アウトカムの十分な定義には治療値だけではなく他の情報（ e.g., 手順）が必要 multiple version of treatmentが存在しないことは、非干渉性とともに SUTVAの仮定の一部に含まれる（Rubin, 1980） 各バージョンがアウトカムに対して同じ因果効果を持つのであれば反事実 アウトカムは𝑌 ! として定義可能（Robins and Greenland, 2000） ”treatment variation irrelevance”として定式化（VanderWeele, 2009） 15

Technical Point 1.1 Causal effects in the population 潜在アウトカム𝑌 ! の期待値E[𝑌 ! ] ※ 離散：E[𝑌 ! ] = ∑" 𝑦𝑝# ! 𝑦 二値：E[𝑌 ! ] = Pr[𝑌 ! = 1] 連続：E[𝑌 ! ] = ∫ 𝑦𝑓# ! (𝑦) 𝑑𝑦 より一般には E[𝑌 ! ] = ∫ 𝑦𝑑𝐹( ! (𝑦) 𝑑𝑦 と表現される ※𝑓!! 𝑦 ：𝑌 " の確率密度関数、𝐹!! (𝑦)：𝑌 " の累積分布関数 16

Technical Point 1.1 Causal effects in the population 母集団の因果効果は期待値以外でも定義可能 異なる治療値の下での反事実アウトカムの周辺分布の任意の関数の対比 e.g.) 分散、中央値、ハザード、CDF 非線形関数を用いる場合には一般に線形性は不成立 e.g., ) Var(𝑌 !"# − 𝑌 !"$) ≠ var(𝑌 !"#) − var(𝑌 !"$) 𝑌 !"#, 𝑌 !"$が独立である場合には統合が成立するが、共分散は識別不可 17