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title: LTIシステムの解と遷移行列
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author: [伊藤恒平](https://www.docswell.com/user/Kouhei_Ito)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: LTIシステムの解と遷移行列 by 伊藤恒平
published: August 09, 22
canonical: https://www.docswell.com/s/Kouhei_Ito/547GQ5-2022-08-09-163835
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# Page. 1

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ469PLY71.jpg)

＃2022080915
線形時不変システム
の解と遷移行列
#つぶやき制御工学


# Page. 2

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線形時不変システム
Linear Time-Invariant
System
LTIシステム
時と共に移ろわないシステム
#つぶやき制御工学


# Page. 3

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWLDQQM72.jpg)

LTIシステムの例
• 燃料の減らないロケットや飛行機
• 経年劣化しない軸受を持つ機械
• 温度で性質が変化しない電子回路
• 高度で空気密度が変わらない大気中を
飛ぶ飛行機
こんな風な事が、短時間や局所的に見れば許される世界はLTIとしてみると嬉
しい場合がたくさんあるし、割とそれでなんとかなる
#つぶやき制御工学


# Page. 4

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZMGWWME3.jpg)

LTIシステムは微分方程式を用いて
状態方程式と観測方程式で表します
状態方程式
𝒙̇ = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕)
観測方程式
𝑦 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕)
#つぶやき制御工学


# Page. 5

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状態方程式
𝒙̇ = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕)
観測方程式
𝒚 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕)
𝐴や𝐵, 𝐶, 𝐷が時不変な場合がLTIシステムです
#つぶやき制御工学


# Page. 6

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ55GVVGJ4.jpg)

状態方程式
𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
の解は次の様になります
𝒙 = 𝜱 𝑡 𝒙 𝑡! +
𝜱(𝑡)
"
∫" 𝜱
!
𝑡 − 𝜏 𝑩𝒖 𝜏 𝑑𝜏
を遷移行列 と呼びます
𝑢(𝑡)が任意なので、解というのには異論があるかも・・・
#つぶやき制御工学


# Page. 7

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遷移行列は
!"
𝜱(𝑡) = ℒ
𝑨$
=𝑒
𝑠𝑰 − 𝑨
行列指数となり、指数法則が適用できます
#つぶやき制御工学
!"


# Page. 8

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDWYPP37G.jpg)

結論は分かりましたので
ゆっくりと、解いていきましょう
#つぶやき制御工学


# Page. 9

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P96NNPJ8.jpg)

状態方程式
𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
をラプラス変換します
𝑠𝑿 − 𝒙! = 𝑨𝑿 + 𝑩𝑼
#つぶやき制御工学


# Page. 10

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JVM3KKVJQ.jpg)

𝑠𝑿 − 𝑨𝑿 = 𝒙! + 𝑩𝑼
整理・・・
𝑠𝑰 − 𝑨 𝑿 = 𝒙! + 𝑩𝑼
整理・・・
𝑿 = 𝑠𝑰 − 𝑨
!" 𝒙
#
+ 𝑠𝑰 − 𝑨
ここで、逆ラプラス変換をします
#つぶやき制御工学
!" 𝑩𝑼


# Page. 11

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EGG3QQ1EL.jpg)

ここで、以下の逆ラプラス変換の結果を
𝜱(𝑡) = ℒ 𝑠𝑰 − 𝑨
𝑨"
=𝑒
#$
とします
𝜱(𝑡) を遷移行列と呼ぶんでした
この謎の遷移行列は後で見ますよ・・・
#つぶやき制御工学


# Page. 12

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQX5KKNEP.jpg)

さらに、さらに
復習
畳み込みの逆ラプラス変換
ℒ
#$
𝐻 𝑠 𝑈(𝑠) =
"
∫" ℎ
!
𝑡 − 𝜏 𝑢 𝜏 𝑑𝜏
を用いますと（色んな知識が入りますね（T̲T) ）
#つぶやき制御工学


# Page. 13

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K7469PP3E1.jpg)

と言うような知識を総動員すると
𝑿 = 𝑠𝑰 − 𝑨
!" 𝒙
#
+ 𝑠𝑰 − 𝑨
!" 𝑩𝑼
の逆ラプラス変換は
𝒙 = 𝜱 𝑡 𝒙# +
$
∫$ 𝜱
&
𝑡 − 𝜏 𝑩𝒖 𝜏 𝑑𝜏
めでたく、LTIシステムの解が求まりました。
#つぶやき制御工学


# Page. 14

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1VK99ZEG.jpg)

最後は、
遷移行列は怖く無い
というお話
#つぶやき制御工学


# Page. 15

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWLDQQ6E2.jpg)

遷移行列は
!"
𝜱(𝑡) = ℒ
𝑨$
=𝑒
𝑠𝑰 − 𝑨
!"
ここに戻ると正体がわかる！
#つぶやき制御工学


# Page. 16

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZMGWWRJ3.jpg)

具体例で示します
0
1 とすると
𝑨 =
−2 −3
𝑠
−1 となり
𝒔𝑰 − 𝑨 =
2 𝑠+3
𝒔𝑰 − 𝑨
"𝟏
1
𝑠+3 1
=
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) −2 𝑠
#つぶやき制御工学


# Page. 17

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76NYGG17V.jpg)

𝒔𝑰 − 𝑨
!𝟏
𝑠+3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
=
−2
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑠
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
となり、部分分数展開すると
2
1
1
1
−
−
𝑠
+
1
𝑠
+
2
𝑠
+
1
𝑠
+
2
=
−2
2
−1
2
+
+
𝑠+1 𝑠+2 𝑠+1 𝑠+2
#つぶやき制御工学
となる


# Page. 18

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G755GVVL74.jpg)

ということで、逆ラプラス変換すると
ℒ
!#
𝑠𝑰 − 𝑨
!#
!$
!%$
2𝑒
−
𝑒
=
!$
!%$
−2𝑒 + 2𝑒
!$
!%$
𝑒 −𝑒
!$
!%$
−𝑒 + 2𝑒
が得られ、遷移行列が求められた
!$
!%$
2𝑒
−
𝑒
𝜱(𝑡) =
!$
!%$
−2𝑒 + 2𝑒
𝑒 !$ − 𝑒 !%$
!$
!%$
−𝑒 + 2𝑒
ということで、遷移行列は計算でちゃんと
求められます。大変だけど・・・
#つぶやき制御工学


# Page. 19

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2NY333ER.jpg)

遷移行列の性質
(1) 𝜱 0 = 𝑒
𝑨"
=𝐼
(2) 𝜱 𝑡# + 𝑡$ = 𝜱 𝑡# 𝜱 𝑡$ = 𝑒
)#
(3) 𝜱
𝑡 = 𝜱 −𝑡
(4) 𝜱̇ 𝑡 = 𝑨𝑒 𝑨& = 𝑒 𝑨& 𝑨
#つぶやき制御工学
𝑨(&& '&' )