---
title: rd-4. 平均と分散
tags:  #r #平均 #分散 #母平均 #母分散  
author: [kunihikokaneko](https://www.docswell.com/user/6674398749)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
thumbnail: https://bcdn.docswell.com/page/GJ86ZNXRED.jpg?width=480
description: データサイエンス演習（R システムを使用） https://www.kkaneko.jp/cc/rd/index.html  金子邦彦研究室ホームページ https://www.kkaneko.jp/index.html
published: February 25, 22
canonical: https://www.docswell.com/s/6674398749/KW47Q5-2022-02-25-120436
---
# Page. 1

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ86ZNXRED.jpg)

rd-4. 平均と分散
データサイエンス演習
（R システムを使用）
https://www.kkaneko.jp/de/rd/index.html
金子邦彦
1


# Page. 2

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JMZP4X9EW.jpg)

「1,000,000個の中から
ランダムに標本を選ぶ」
標本
128
104
124
85
120
サイズ：
1,000,000
80
80
126
122
79
標本
平均
97.4
不偏分散 591.8
平均
112.2
不偏分散 314.2
118
110
96
85
109
標本
平均
103.6
不偏分散 170.3
2


# Page. 3

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJR61WN979.jpg)

アウトライン
4-1 変数
4-2 平均と不偏分散
4-3 母平均と母分散
3


# Page. 4

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXMYPN37X.jpg)

4-1 変数


# Page. 5

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKG3DNNJD.jpg)

変数の例
変数が３つ
科目 受講者
国語
A
国語
B
算数
A
算数
B
理科
A
得点
90
80
95
90
80
プログラムでの変数
◆ 値を１つ保持するためのもの
ここで説明する変数
◆ 変化する値のこと
元データ
5


# Page. 6

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73NGRVZ75.jpg)

変数の例
値が変化する何か
5月 7日 80個
5月 8日 110個
5月 9日 120個
5月 10日 70個
5月 11日 120個
＜変数＞
（例）
日本人全員
（超巨大だったり）
1900年から2100年までの人口変化
（未知だったり）
＜標本＞
（例）
ランダム抽出された３０人
2016年5月8日から11日までのデータ
6


# Page. 7

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DW1Y84JG.jpg)

変数と標本の例
各標本のデータ数（標本の大きさ）
を決め，標本を得る
値が変化する何か
＜変数＞
128
104
124
85
120
118
110
96
85
109
80
80
126
122
79
127
72
111
82
81
標本１ 標本２ 標本３ 標本４
◆ 標本をとるたびに違う値
7


# Page. 8

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJP9Q68VE8.jpg)

4-2 平均と不偏分散


# Page. 9

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EVM53NREQ.jpg)

平均と不偏分散
128
104
124
85
120
標本１
■ 平均とは
すべての数値を足して，データの個数
で割った値
■ 不偏分散とは
数値データの散らばり具合を表す数値
の１つ
数値データの
集まり
9


# Page. 10

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57GG63K67L.jpg)

平均と不偏分散
値が変化する何か
＜変数＞
128
104
124
85
120
118
110
96
85
109
80
80
126
122
79
127
72
111
82
81
標本１ 標本２ 標本３ 標本４
それぞれの平均と不偏分散を求めると
平均
112.2
不偏分散 314.2
103.6
170.3
97.4 94.6
591.8 543.3
10


# Page. 11

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQX45N27P.jpg)

R のベクトル
ベクトルとは，データの並びのこと．
各要素に番号（添え字）がある．
• コンストラクタ（ベクトルデータの組み立て）
c や numeric など
• 添え字によるアクセス []
11


# Page. 12

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ46Q9GP71.jpg)

R での平均と不偏分散
• 平均
mean
• 不偏分散
var
※ 不偏分散は，標本値のばらつきを表す値
12


# Page. 13

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1VPKDX7G.jpg)

R での平均と不偏分散
128
104
124
85
120
118
110
96
85
109
80
80
126
122
79
127
72
111
82
81
c1 &lt;- c(128, 104, 124, 85, 120)
c2 &lt;- c(118, 110, 96, 85, 109)
c3 &lt;- c(80, 80, 126, 122, 79)
c4 &lt;- c(127, 72, 111, 82, 81)
mean(c1)
mean(c2)
mean(c3)
mean(c4)
var(c1)
var(c2)
var(c3)
var(c4)
13


# Page. 14

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWL2DYK72.jpg)

4-3 母平均と母分散


# Page. 15

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZMDGXNE3.jpg)

母平均と母分散
値が変化する何か
＜変数＞
母平均：変数値の平均
母分散：変数値の分散
128
104
124
85
120
118
110
96
85
109
80
80
126
122
79
127
72
111
82
81
標本１ 標本２ 標本３ 標本４
平均
112.2 103.6 97.4
94.6
不偏分散
314.2 170.3 591.8 543.3
15


# Page. 16

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6N1Y49JV.jpg)

変数に関するも
の
母平均
標本に関するも
の
平均
母分散
不偏分散
標本や不偏分散を使って，
母平均や母分散を推定する
標本データから，
平均，不偏分散が求まる
16


# Page. 17

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ554GQDJ4.jpg)

今から行うことのイメージ
値が変化する何か
＜変数＞
たくさんの標本
平均，不偏分散の算出
母平均，母分散の推定
17


# Page. 18

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3NGRZQE5.jpg)

今から行うこと
「1,000,000個の中から
ランダムに標本を選ぶ」
128
104
124
85
120
乱数による
合成データ
サイズ：1,000,000
80
80
126
122
79
標本
標本
118
110
96
85
109
標本
18


# Page. 19

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDW1YRW7G.jpg)

今から行うこと
「1,000,000個の中から
ランダムに標本を選ぶ」
128
104
標本
R では
124
ベクトルデータ x の85
1,000,000個の中から
ランダムに5個選びたいときは
120
乱数による
118
合成データ
110
x[floor( runif(5, 1, 1000000+1)
)]
80
96
サイズ：1,000,000
標本
80
85
126
標本
109
122
79
19


# Page. 20

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P9Q6WXJ8.jpg)

合成データからランダムに5個選び標本を
作る
合成データ
タイプ：数値
サイズ：1,000,000
サイズ５
の標本
毎回違う結果が出る
x &lt;- round( rnorm(1000000, mean=100, sd=20) )
x[floor( runif(5, 1, 1000000+1) )]
x[floor( runif(5, 1, 1000000+1) )]
x[floor( runif(5, 1, 1000000+1) )]
乱数による合成データの生成
20


# Page. 21

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JVM5383JQ.jpg)

標本を20個作り，各標本の平均や不偏分散を
求める
合成データ
タイプ：数値
サイズ：1,000,000
サイズ５
の標本を
20個
各標本の
平均や
不偏分散
毎回違う結果が出る
x &lt;- round( rnorm(1000000, mean=100, sd=20) )
m &lt;- numeric(20)
v &lt;- numeric(20)
for (i in 1:20) {
s &lt;- x[floor( runif(5, 1, 1000000+1) )]
m[i] &lt;- mean(s)
合成データからランダムに
v[i] &lt;- var(s)
5個選び標本を作る
}
平均と不偏分散
print(m)
print(v)
21


# Page. 22

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQX45Z6EP.jpg)

各標本の平均値を比べる
標本の例
128 118 80 127
104 110 80 72
124 96 126 111
85 85 122 82
120 109 79 81
標本２個の各平均値
112.2 103.6
総平均：107.9
標本３個の各平均値
112.2 103.6 97.4
総平均：104.4
標本４個の各平均値
112.2 103.6 97.4
94.6
総平均：101.95
22


# Page. 23

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K746Q93ME1.jpg)

各標本の不偏分散値を比べる
標本
128 118 80 127
104 110 80 72
124 96 126 111
85 85 122 82
120 109 79 81
標本２個の各不偏分散値
314.2 170.3
その平均：242.25
標本３個の各不偏分散値
314.2 170.3 591.8
その平均：358.7667
標本４個の各不偏分散値
314.2 170.3 591.8
543.3
その平均：404.9
23


# Page. 24

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWL2D81E2.jpg)

各標本の平均値や不偏分散値を集めて，平
均をとる
合成データ
タイプ：数値
サイズ：1,000,000
サイズ５
の標本を
20個
x &lt;- round( rnorm(1000000, mean=100, sd=20) )
m &lt;- numeric(20)
v &lt;- numeric(20)
for (i in 1:20) {
s &lt;- x[floor( runif(5, 1, 1000000+1) )]
m[i] &lt;- mean(s)
v[i] &lt;- var(s)
}
for (i in 1:20) { print( mean(m[1:i]) ) }
for (i in 1:20) { print( mean(v[1:i]) ) }
各標本の
平均値や
不偏分散値
平均
24


# Page. 25

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76N1YPP7V.jpg)

だんだんと
100 に近づく
各標本の平均値を集めて
平均を求める
だんだんと
400 に近づく
各標本の不偏分散値を集めて
平均を求める
ランダムなので，毎回違う結果が出る
25


# Page. 26

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEYP3GLNEM.jpg)

だんだんと
100 に近づく
だんだんと
400 に近づく
何度やっても同じ
何度やっても同じ
各標本の平均値を集めて
平均を求める
各標本の不偏分散値を集めて
平均を求める
ランダムなので，毎回違う結果が出る
26


# Page. 27

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9Y6WQVJ3.jpg)

標本の個数を 20 から 1000 の間で変えて，
総平均を求めてみる
だんだんと
100 に近づく
各標本の平均値を集めて総平均を求める
27


# Page. 28

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LEL9DPGVJR.jpg)

標本の個数を 20 から 1000 の間で変えて，
総平均を求めてみる
だんだんと
400 に近づく
各標本の不偏分散値を集めて総平均を求める
28


# Page. 29

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXMYP8Z7X.jpg)

だんだんと
100 に近づく
変数
標本
母平均
平均
※ R では mean
不偏分散
※ R では var
その値は 100 であると推定
母分散
だんだんと
400 に近づく
その値は 400 であると推定
標本や不偏分散を使って，
母平均や母分散を推定する
標本はデータなので，
平均は不偏分散は求まる
29


