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title: 色々な確率分布
tags:  #[第9回大阪sas勉強会]  
author: [森岡裕[SASユーザー総会世話人]](https://www.docswell.com/user/6484025)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: [第9回大阪SAS勉強会] 德田 芳稀
published: March 26, 24
canonical: https://www.docswell.com/s/6484025/KDE114-2024-03-26-063508
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# Page. 1

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色々な確率分布
大阪SAS勉強会
2024/3/22
エイツーヘルスケア株式会社
德田 芳稀
E-mail: tokuda-y@a2healthcare.com


# Page. 2

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色々な確率分布
1. 確率分布について
2. 連続変数の確率分布
目次
3. カテゴリカル変数の確率分布


# Page. 3

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色々な確率分布
1. 確率分布について
2. 連続変数の確率分布
目次
3. カテゴリカル変数の確率分布


# Page. 4

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1. 確率分布について
◆
確率：事象の起こりやすさを定量的に示すもの
◼
◼
◆
事象Aの起こる確率について、𝑃𝑟(𝐴)のように表す
𝑃𝑟(𝐴)は[0, 1]の値を取る
確率変数：各取りうる値に対して確率が与えられている変数
◼
◼
◆
コルモゴロフの公理(確率の公理)
1. 任意の事象𝐴𝑖 に対して0 ≤ Pr(𝐴𝑖 ) ≤ 1
2. 全事象Ωに対してPr Ω = 1
3. 互いに排反な事象𝐴𝑖 に対してPr ‫ = 𝑖𝐴 𝑖ڂ‬σ𝑖 Pr(𝐴𝑖 )
サイコロの目𝑋は1~6の目に対して1/6が与えられるので確率変数
𝑃𝑟 𝑋 =
1
6
(𝑋 = 1,2,3,4,5,6)
実現値：確率変数が実際に取りうる値
◼
𝑋 = 1,2,3,4,5,6はすべて実現値である
4/38


# Page. 5

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1. 確率分布について
◆
確率分布：確率変数の実現値と確率の関係を関数で表したもの
サイコロの目𝑋
実現値
1
2
3
4
5
6
確率
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
この例では離散一様分布
(今回は紹介しない)
0.167
0
確率分布：𝑓 𝑥 =
1
6
1
2
3
4
5
6
5/38


# Page. 6

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1. 確率分布について
◆
SASによる確率分布の描画
◼
今回はSASのPDF関数とSGPLOTプロシジャを用いて描画
◼
PDF関数
✓
✓
✓
PDF(‘distribution’ , 𝑥, Parameter 1, …, Parameter K);
Distribution: 確率分布を指定
Parameter: 確率分布に付随する母数の値を設定
6/38


# Page. 7

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1. 確率分布について
◆
SASによる確率分布の描画
◼
Ex.)標準正規分布を指定する場合：𝑃𝐷𝐹(′𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙′ , 𝑥, 0,1)
✓
✓
distribution=Normalで正規分布を指定
第3引数は平均𝜇、第4引数は分散𝜎 2 を指定する
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 2 0,12
1
1 2
=
exp − 2
2𝜋
2
= 0.054
7/38


# Page. 8

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1. 確率分布について
◆
今回紹介する確率分布
確率分布
母数
期待値
分散
(連続)一様分布
𝑎, 𝑏
(𝑎 + 𝑏)/2
正規分布
𝜇, 𝜎 2
𝜇
𝜎2
対数正規分布
𝜇, 𝜎 2
𝑒𝑥𝑝(𝜇 + 𝜎 2 /2)
𝑒𝑥𝑝 2𝜇 + 𝜎 2
指数分布
1/𝜆
𝜆
𝜆2
𝑃𝐷𝐹(′𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜆)
コーシー分布
𝜇, 𝛾
−
−
𝑃𝐷𝐹(′𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦′, 𝑥, 𝜇, 𝛾)
ベータ分布
𝛼, 𝛽
𝛼/(𝛼 + 𝛽)
ガンマ分布
𝛼, 𝛽
𝛼/𝛽
𝛼/𝛽 2
𝑃𝐷𝐹(′𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎′, 𝑥, 𝛼, 𝛽)
ベルヌーイ分布
𝜃
𝜃
𝜃(1 − 𝜃)
𝑃𝐷𝐹(′𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑖′, 𝑥, 𝜃)
二項分布
𝑁, 𝜃
𝑁𝜃
𝑁𝜃(1 − 𝜃)
𝑃𝐷𝐹(′𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜃, 𝑁)
ポアソン分布
𝜆
𝜆
𝜆
𝑃𝐷𝐹(′𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛′, 𝑥, 𝜆)
PDF関数
𝑏 − 𝑎 2 /12
𝑃𝐷𝐹(′𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚′, 𝑥, 𝑎, 𝑏)
𝑃𝐷𝐹(′𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜇, 𝜎 2 )
𝑒𝑥𝑝 𝜎 2 − 1
𝑃𝐷𝐹(′𝐿𝑜𝑔𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜇, 𝜎 2 )
ここは後ほど紹介
𝛼 𝛽/ 𝛼 + 𝛽 𝛼 + 𝛽 + 1
𝑃𝐷𝐹(′𝐵𝑒𝑡𝑎′, 𝑥, 𝛼, 𝛽)
2
2
8/38


# Page. 9

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色々な確率分布
目次
1. 確率分布について
1. (連続)一様分布
2. 連続変数の確率分布
2. 正規分布
3. カテゴリカル変数の確率分布 3. 対数正規分布
4. 指数分布
5. コーシー分布
6. ベータ分布
7. ガンマ分布


# Page. 10

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2-0. 構図
確率密度関数 or 確率質量関数
確率分布の図示
期待値・分散
確率分布に関するメモ(性質・用途等)


# Page. 11

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2-1. (連続)一様分布
𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑥 𝑎, 𝑏 = ቐ
◆
(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)
黒: 𝑎 = 0, 𝑏 = 10
赤: 𝑎 = 2, 𝑏 = 7
0 (𝑂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒)
期待値・分散
𝐸𝑋 =
◆
1
𝑏−𝑎
𝑎+𝑏
,
2
𝑉𝑋 =
𝑏−𝑎 2
12
Memo：
◼ パラメータ𝑎, 𝑏に制限がなければ(−∞, ∞)の範囲で十分な幅を取ることができる
◼ ベイズ統計では無情報事前分布として用いられる
11/38


# Page. 12

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2-1. (連続)一様分布
%let a1 = 0; %let b1 = 10;
%let a2 = 2; %let b2 = 7;
黒: 𝑎 = 0, 𝑏 = 10
赤: 𝑎 = 2, 𝑏 = 7
data uniform_pdf;
do x=-1 to 11 by 0.1;
pdf1=pdf('uniform',x,&a1.,&b1.);
pdf2=pdf('uniform',x,&a2.,&b2.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=uniform_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);;
xaxis label="X" min=-1 max=11;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=0.25;
run;
12/38


# Page. 13

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2-2. 正規分布
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑥
(𝜇, 𝜎 2 > 0)
𝜇, 𝜎 2
=
1
exp
2𝜋𝜎
1 𝑥−𝜇 2
−
2
𝜎
黒: 𝜇 = 0, 𝜎 2 = 1
赤: 𝜇 = 0, 𝜎 2 = 3
青: 𝜇 = 2, 𝜎 2 = 1
◆
期待値・分散
𝐸 𝑋 = 𝜇, 𝑉 𝑋 = 𝜎 2
◆
Memo：
2
◼ 𝜇 = 0, 𝜎 = 1のとき標準正規分布
◼ 再生性を持つ
(𝑥1 ~𝑁 𝜇1 , 𝜎12 , 𝑥2 ~𝑁 𝜇2 , 𝜎22 のとき𝑥1 + 𝑥2 ~𝑁(𝜇1 + 𝜇2 , 𝜎12 + 𝜎22 ))
◼ 中心極限定理より、標本が従う分布に依らず標本平均の分布は正規分布に
分布収束する
13/38


# Page. 14

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2-2. 正規分布
%let mu1 = 0; %let sigma1 = 1;
%let mu2 = 0; %let sigma2 = 3;
%let mu3 = 2; %let sigma3 = 1;
黒: 𝜇 = 0, 𝜎 2 = 1
赤: 𝜇 = 0, 𝜎 2 = 3
青: 𝜇 = 2, 𝜎 2 = 1
data normal_pdf;
do x=-5 to 5 by 0.1;
pdf1=pdf('normal',x,&mu1.,&sigma1.);
pdf2=pdf('normal',x,&mu2.,&sigma2.);
pdf3=pdf('normal',x,&mu3.,&sigma3.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=normal_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
series x=x y=pdf3 / lineattrs=(color=blue thickness=2);
xaxis label="X" min=-5 max=5;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=0.4;
run;
14/38


# Page. 15

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ49VZDY71.jpg)

2-3. 対数正規分布
𝐿𝑜𝑔𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑥
𝜇, 𝜎 2
=
1 1
𝑒𝑥𝑝
2𝜋𝜎 𝑥
1 𝑙𝑜𝑔𝑥−𝜇 2
−
2
𝜎
𝜇 = 0, 𝜎 2 = 1
◆
期待値・分散
𝐸 𝑋 = 𝑒𝑥𝑝 𝜇 + 𝜎 2 /2
𝑉 𝑋 = 𝑒𝑥𝑝 2𝜇 + 𝜎 2 (𝑒𝑥𝑝 𝜎 2 − 1)
◆
Memo：
2
◼ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥としたとき、𝑦は正規分布𝑁(𝑦|𝜇, 𝜎 )に従う
◼ 抗体価や多くのPKパラメータがこの分布に従う(https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjb/36/Special_Issue/36_S19/_pdf)
15/38


# Page. 16

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1K3RZNJG.jpg)

2-3. 対数正規分布
%let mu1 = 0; %let sigma1 = 1;
𝜇 = 0, 𝜎 2 = 1
data lognormal_pdf;
do x=0 to 5 by 0.01;
pdf1=pdf('lognormal',x,&mu1.,&sigma1.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=lognormal_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
xaxis label="X" min=0 max=5;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=0.7;
run;
16/38


# Page. 17

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWDP16MJ2.jpg)

2-4. 指数分布
𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑥 1/𝜆 =
1
𝑒𝑥𝑝
𝜆
1
− 𝑥
𝜆
(𝑥 ≥ 0)
◆
期待値・分散
𝐸 𝑋 = 𝜆, 𝑉 𝑋 = 𝜆2
◆
Memo：
◼ ある期間に平均して𝜆回起こる事象が、次に起こるまでの期間𝑥が従う
◼ 無記憶性がある(連続型分布では唯一)
赤: lambda=0.5
黒: lambda=1
青: lambda=2
𝑃𝑟 𝑌 > 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −𝜆𝑡 及び𝑃𝑟 𝑌 > 𝑠 + 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −𝜆(𝑠 + 𝑡) より、
𝑃𝑟 𝑌 > 𝑠 + 𝑡 / 𝑃𝑟 𝑌 > 𝑡 = 𝑃𝑟 𝑌 > 𝑠 となりtに依存しない
17/38


# Page. 18

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2-4. 指数分布
%let lambda1 = 1;
%let lambda2 = 0.5;
%let lambda3 = 2;
赤: lambda=0.5
黒: lambda=1
青: lambda=2
data exponential_pdf;
do x=0 to 5 by 0.01;
pdf1=pdf('exponential',x,&lambda1.);
pdf2=pdf('exponential',x,&lambda2.);
pdf3=pdf('exponential',x,&lambda3.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=exponential_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
series x=x y=pdf3 / lineattrs=(color=blue thickness=2);
xaxis label="X" min=0 max=5;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=2;
run;
18/38


# Page. 19

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6YQMD57V.jpg)

2-5. コーシー分布
𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑥 𝜇, 𝛾 =
1
1
𝜋𝛾 1+ 𝑥−𝜇 2
赤: 標準正規分布
黒: 標準コーシー分布
𝜎
(𝜇 = 0, 𝛾 = 1を標準コーシー分布と呼ぶ)
◆
期待値・分散はいずれもなし
◆
Memo：
◼ 正規分布よりも裾が重く、外れ値を考慮したような分布
◼ 期待値・分散が存在しないので、大数の法則は成立しない
19/38


# Page. 20

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5GRZ3GJ4.jpg)

2-5. コーシー分布
%let mu = 0;
%let gamma = 1;
赤: 標準正規分布
黒: 標準コーシー分布
data cauchy_pdf;
do x = -10 to 10 by 0.1;
pdf1 = pdf(‘cauchy’,x,&mu.,&gamma.);*標準コーシー分布;
pdf2 = pdf(‘normal’,x,&mu.,&gamma.);*標準正規分布;
output;
end;
run;
proc sgplot data=cauchy_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
xaxis label="X";
yaxis label="Probability Density";
run;
20/38


# Page. 21

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3RP96P75.jpg)

2-5. コーシー分布
標準正規分布
標準コーシー分布
標準正規分布は0付近に分布する
それに対して標準コーシー分布は0付近に分布するものの一定の頻度で外れ値が出現する
21/38


# Page. 22

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDYLGV3EG.jpg)

2-5. コーシー分布
標準正規分布
標準コーシー分布
標準正規分布は平均が0に収束するが、標準コーシー分布は平均が収束しない
22/38


# Page. 23

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2-6. ベータ分布
𝐵𝑒𝑡𝑎 𝜃 𝛼, 𝛽 =
1
𝐵 𝛼,𝛽
𝜃 𝛼−1 1 − 𝜃
𝛽−1
黒: 𝛼 = 1, 𝛽 = 1
赤: 𝛼 = 2, 𝛽 = 10
青: 𝛼 = 34, 𝛽 = 16
𝜃: 0, 1 の実数, 𝛼, 𝛽: 正の実数
𝐵 𝛼, 𝛽 =
◆
Γ(𝛼)Γ(𝛽)
,
Γ 𝛼+𝛽
Γ 𝑥 =
∞ 𝑥−1 −𝑡
𝑒 𝑑𝑡
‫׬‬0 𝑡
期待値・分散
𝐸𝑋 =
𝛼
,
(𝛼+𝛽)
VX =
𝛼2 𝛽
{ 𝛼+𝛽 2 (𝛼+𝛽+1)}
23/38


# Page. 24

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JV3D4ZVEQ.jpg)

2-6. ベータ分布
𝐵𝑒𝑡𝑎 𝜃 𝛼, 𝛽 =
1
𝐵 𝛼,𝛽
𝜃 𝛼−1 1 − 𝜃
𝛽−1
黒: 𝛼 = 1, 𝛽 = 1
赤: 𝛼 = 2, 𝛽 = 10
青: 𝛼 = 34, 𝛽 = 16
𝜃: 0, 1 の実数, 𝛼, 𝛽: 正の実数
𝐵 𝛼, 𝛽 =
◆
Γ(𝛼)Γ(𝛽)
,
Γ 𝛼+𝛽
Γ 𝑥 =
∞ 𝑥−1 −𝑡
𝑒 𝑑𝑡
‫׬‬0 𝑡
Memo：
◼ 表が出る確率が不明なコインを何回か投げて、
表が(α − 1)回、裏が(𝛽 − 1)回出たときに、表が出る確率が従う分布
◼ 𝛼 = 𝛽 = 1のとき、一様分布
◼ 二項分布の共役事前分布
24/38


# Page. 25

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2-6. ベータ分布
%let alpha1 = 1; %let beta1 = 1;
%let alpha2 = 2; %let beta2 = 10;
%let alpha3 = 34; %let beta3 = 16;
黒: 𝛼 = 1, 𝛽 = 1
赤: 𝛼 = 2, 𝛽 = 10
青: 𝛼 = 34, 𝛽 = 16
data beta_pdf;
do x=0 to 1 by 0.01;
pdf1=pdf('beta',x,&alpha1., &beta1.);
pdf2=pdf('beta',x,&alpha2., &beta2.);
pdf3=pdf('beta',x,&alpha3., &beta3.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=beta_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
series x=x y=pdf3 / lineattrs=(color=blue thickness=2);
xaxis label="X" min=0 max=1;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=7;
run;
25/38


# Page. 26

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQ5MDGN7P.jpg)

2-7. ガンマ分布
𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑥 𝛼, 𝛽 =
𝛽 𝛼 𝛼−1
𝑥
𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑥)
Γ(𝛼)
黒: 𝛼 = 1, 𝛽 = 1
赤: 𝛼 = 2, 𝛽 = 5
青: 𝛼 = 10, 𝛽 = 5
∞
𝑥, 𝛼, 𝛽: 正の実数 , Γ 𝑥 = ‫׬‬0 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
◆
期待値・分散
𝛼
𝐸𝑋 = , VX =
𝛽
◆
𝛼
𝛽2
Memo：
◼ ある期間𝛽に平均して1回起こる事象が、𝛼回起こるまでの期間𝑥が従う
◼ ポアソン分布の共役事前分布
◼ 𝛼 = 1の時、指数分布(= 𝛽exp(−𝛽𝑥))に一致する
26/38


# Page. 27

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K749VZ53E1.jpg)

2-7. ガンマ分布
%let alpha1 = 1; %let beta1 = 1;
%let alpha2 = 2; %let beta2 = 5;
%let alpha3 = 10; %let beta3 = 5;
data gamma_pdf;
do x=0 to 100 by 1;
pdf1=pdf('gamma',x,&alpha1., &beta1.);
pdf2=pdf('gamma',x,&alpha2., &beta2.);
pdf3=pdf('gamma',x,&alpha3., &beta3.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=gamma_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
series x=x y=pdf3 / lineattrs=(color=blue thickness=2);
xaxis label="X" min=0 max=100;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=0.1;
run;
黒: 𝛼 = 1, 𝛽 = 1
赤: 𝛼 = 2, 𝛽 = 5
青: 𝛼 = 10, 𝛽 = 5
27/38


# Page. 28

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色々な確率分布
目次
1. 確率分布について
1. ベルヌーイ分布
2. 連続変数の確率分布
2. 二項分布
3. カテゴリカル変数の確率分布 3. ポアソン分布


# Page. 29

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWDP16672.jpg)

3-1. ベルヌーイ分布
𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑥 𝜃 = 𝜃 𝑥 1 − 𝜃
1−𝑥
𝜃
, 𝑥=1
=ቊ
1 − 𝜃, 𝑥 = 0
𝜃 = 0.4
𝜃: 0, 1 の実数
◆
期待値・分散
𝐸 𝑋 = 𝜃, 𝑉 𝑋 = 𝜃(1 − 𝜃)
◆
Memo：
◼ コインを1回投げて表(𝑥 = 1)が出る確率が𝜃、裏(𝑥 = 0)が出る確率が1 − 𝜃のように
考えることができる(ベルヌーイ試行)
29/38


# Page. 30

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZGKPYRJ3.jpg)

3-1. ベルヌーイ分布
%let theta1 = 0.4;
data bernouli_pdf;
do x=0 to 1 by 1;
pdf1=pdf('bernouli',x,&theta1.);
output;
end;
run;
𝜃 = 0.4
proc sgplot data=bernouli_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
vbarparm category=x response=pdf1 /
fillattrs=(color=white);
xaxis label="X";
yaxis label="Probability Density" min=0 max=1;
run;
30/38


# Page. 31

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76YQMD1EV.jpg)

3-2. 二項分布
𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑥 𝑁, 𝜃 =
𝑁!
𝜃 𝑥 (1 −
𝑥! 𝑁−𝑥 !
𝜃)𝑁−𝑥
黒: 𝑁 = 100, 𝜃 = 0.5
赤: 𝑁 = 100, 𝜃 = 0.3
青: 𝑁 = 200, 𝜃 = 0.5
𝜃: 0, 1 の実数
◆
期待値・分散
𝐸 𝑋 = 𝑁𝜃, 𝑉 𝑋 = 𝑁𝜃(1 − 𝜃)
◆
Memo：
◼ ベルヌーイ試行を𝑁回行う状況と一致する
◼ 再生性を持つ (𝜃が同じであれば)
𝑥1 ~𝐵𝑖𝑛 𝑁1 , 𝜃 , 𝑥2 ~𝐵𝑖𝑛 𝑁2 , 𝜃 のとき、𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 ~𝐵𝑖𝑛(𝑁1 + 𝑁2 , 𝜃)となる
31/38


# Page. 32

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75GRZ3L74.jpg)

3-2. 二項分布
%let n1=100; %let theta1 = 0.5;
%let n2=100; %let theta2 = 0.3;
%let n3=200; %let theta3 = 0.5;
黒: 𝑁 = 100, 𝜃 = 0.5
赤: 𝑁 = 100, 𝜃 = 0.3
青: 𝑁 = 200, 𝜃 = 0.5
data binomial_pdf;
do x=0 to 200 by 1;
pdf1=pdf('binom',x,&theta1.,&n1.);
pdf2=pdf('binom',x,&theta2.,&n2.);
pdf3=pdf('binom',x,&theta3.,&n3.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=binomial_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
series x=x y=pdf3 / lineattrs=(color=blue thickness=2);
xaxis label="X" min=0 max=150;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=0.10;
run;
32/38


# Page. 33

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3-3. ポアソン分布
𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝑥 𝜆 =
1 𝑥
𝜆 𝑒𝑥𝑝(−𝜆)
𝑥!
黒: lambda=1
赤: lambda=2
青: lambda=5
𝜆: 正の実数
◆
期待値・分散
𝐸 𝑋 = 𝜆, 𝑉 𝑋 = 𝜆
◆
Memo：
◼ 単位時間あたり𝜆回発生する事象が、𝑥回起こる確率の分布
◼ 二項分布の𝑁 → ∞, 𝜃 → 0としたときに導出可能(ポアソン少数の法則)
◼ 指数分布と関連あり(ポアソン分布：発生回数, 指数分布：発生間隔に焦点)
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3-3. ポアソン分布
%let lambda1 = 1;
%let lambda2 = 2;
%let lambda3 = 5;
黒: lambda=1
赤: lambda=2
青: lambda=5
data poisson_pdf;
do x=0 to 10 by 1;
pdf1=pdf('poisson',x,&lambda1.);
pdf2=pdf('poisson',x,&lambda2.);
pdf3=pdf('poisson',x,&lambda3.);
output;
end;
run;
proc sgplot data=poisson_pdf noautolegend;
styleattrs datalinepatterns=(1);
series x=x y=pdf1 / lineattrs=(color=black thickness=2);
series x=x y=pdf2 / lineattrs=(color=red thickness=2);
series x=x y=pdf3 / lineattrs=(color=blue thickness=2);
xaxis label="X" min=0 max=10;
yaxis label="Probability Density" min=0 max=0.4;
run;
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まとめ
◆
今回紹介した確率分布
確率分布
母数
期待値
分散
(連続)一様分布
𝑎, 𝑏
(𝑎 + 𝑏)/2
正規分布
𝜇, 𝜎 2
𝜇
𝜎2
対数正規分布
𝜇, 𝜎 2
𝑒𝑥𝑝(𝜇 + 𝜎 2 /2)
𝑒𝑥𝑝 2𝜇 + 𝜎 2
指数分布
1/𝜆
𝜆
𝜆2
𝑃𝐷𝐹(′𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜆)
コーシー分布
𝜇, 𝛾
−
−
𝑃𝐷𝐹(′𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦′, 𝑥, 𝜇, 𝛾)
ベータ分布
𝛼, 𝛽
𝛼/(𝛼 + 𝛽)
𝛼 2 𝛽/ 𝛼 + 𝛽
ガンマ分布
𝛼, 𝛽
𝛼/𝛽
𝛼/𝛽 2
𝑃𝐷𝐹(′𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎′, 𝑥, 𝛼, 𝛽)
ベルヌーイ分布
𝜃
𝜃
𝜃(1 − 𝜃)
𝑃𝐷𝐹(′𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑖′, 𝑥, 𝜃)
二項分布
𝑁, 𝜃
𝑁𝜃
𝑁𝜃(1 − 𝜃)
𝑃𝐷𝐹(′𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜃, 𝑁)
ポアソン分布
𝜆
𝜆
𝜆
𝑃𝐷𝐹(′𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛′, 𝑥, 𝜆)
PDF関数
𝑏 − 𝑎 2 /12
𝑃𝐷𝐹(′𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚′, 𝑥, 𝑎, 𝑏)
𝑃𝐷𝐹(′𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜇, 𝜎 2 )
𝑒𝑥𝑝 𝜎 2 − 1
2
𝛼+𝛽+1
𝑃𝐷𝐹(′𝐿𝑜𝑔𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙′, 𝑥, 𝜇, 𝜎 2 )
𝑃𝐷𝐹(′𝐵𝑒𝑡𝑎′, 𝑥, 𝛼, 𝛽)
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まとめ
◆
今回紹介しきれなかった確率分布
(もちろんこれら以外にも極値分布など
たくさんあります)
確率分布
負の二項分布
幾何分布
超幾何分布
◆
*がついているものはPDF関数非対応
t分布
F分布
カイ二乗分布
ラプラス分布(二重対数分布)
逆ウィシャート分布*
アーラン分布*
ワイブル分布
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参考資料
<リンク>
◆ SAS Help – PDF Function
https://documentation.sas.com/doc/en/pgmsascdc/9.4_3.5/lefunctionsref/n164yyfgppedmkn1320b
oncqkh6r.htm
<書籍>
絶版
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ご清聴ありがとうございました