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title: 入試問題解説014cl
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description: 入試問題解説014cl by ブリザードマン
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入試問題解説
第 14 回：整 数 条 件 と 因 数 分 解
2007 京 大 理 系 大 問 3


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入試問題解説
問題
p を 3 以上の素数とする。4 個の整数 a，b，c，d が次の 3 条件
a + b + c + d = 0;
ad ¡ bc + p = 0;
を満たすとき，a，b，c，d を p を用いて表せ。
a≧b≧c≧d
(2007 京都大学・前期理系 大問 3)
■ 本問の学習テーマ・目的
本問では，和の条件を積の条件に代入し，素数の性質を利用できる形に変形する考え方
を扱います。さらに，大小関係を用いて因数の符号と順序を定め，残った整数の範囲を
絞ります。
条件は 3 つありますが，それぞれを別々に調べるだけでは進みにくいです。どの条件を
組み合わせると次の操作が可能になるのか，また，一度使った条件をどこでもう一度使
うのかを確認しましょう。
指針 / アプローチ
▼ 和の条件で 1 文字を消す
▼ 素数の性質を利用する
▼ 大小関係で範囲を絞る
d = ¡(a + b + c) を p = bc ¡
ad に代入します。展開後の式を
(a + b)(a + c) = p の各因数
b; c; d を a で表します。a ≧ b
と c ≧ d から 2a の範囲を絞り，
整理し，整数どうしの積を作り
ます。
について，符号と大小を確認しま
す。その後，因数を p と 1 に定
めます。
偶奇で値を決めます。
p が素数であることを使うには，p を整数どうしの積で表すことを考えます。しかし，
p = bc¡ad は積の差であり，このままでは因数を限定できません。そこで，a+b+c+d = 0
を使って d を消します。すると，p = bc + a(a + b + c) となり，a2 + ab + ac + bc を因
数分解できます。
こうして (a + b)(a + c) = p となりますが，a; b; c; d は負の整数でもよいので，直ちに
各因数を 1 と p に決めてはいけません。ここで大小関係を使います。上位 2 つの和 a + b は
下位 2 つの和 c + d 以上であり，全体の和は 0 なので，a + b ≧ 0 です。また，b ≧ c より
a + b ≧ a + c です。この 2 点と積が正であることを合わせれば，因数の符号と順序を定めら
れます。
a + b = p，a + c = 1 まで進めば，残るのは a の決定です。b; c; d を a で表し，
a ≧ b ≧ c ≧ d に戻します。特に，両端の不等式 a ≧ b と c ≧ d は，それぞれ a の下限と上
限を与えます。最後に p が奇数であることを使います。
解答
a + b + c + d = 0 より d = ¡(a + b + c) である。これを p = bc ¡ ad に代入すると，(*1)
p = bc + a(a + b + c) = a2 + ab + ac + bc = (a + b)(a + c) ÝÝ ①
(*1) 和の条件で d を
消すと，積の差が因数
分解できる形になり
ます。
また，a ≧ c，b ≧ d より a + b ≧ c + d = ¡(a + b) であるから，a + b ≧ 0 である。①と
p > 0 より a + b Ë 0 なので，a + b > 0 であり，a + c > 0 でもある。(*2)
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(*2) 積が正というだけ
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では，両因数が負の場
合もあります。一方の
因数が正であることを
先に示します。


# Page. 3

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入試問題解説
ここで，b ≧ c より a + b ≧ a + c である。p は素数であり，a + b，a + c は正の整数なので，
a + b = p;
a+c=1
ÝÝ ②
したがって，b = p ¡ a，c = 1 ¡ a，d = a ¡ p ¡ 1 である。a ≧ b，c ≧ d より，(*3)
a ≧ p ¡ a;
1¡a≧a¡p¡1
p ≦ 2a ≦ p + 2
すなわち
p は 3 以上の素数なので奇数である。2a は偶数であるから，2a = p + 1 となる。よって，
(a; b; c; d) = $
p+1 p¡1
p¡1
p+1
<
;
;¡
;¡
2
2
2
2
(*3) b ≧ c は p ≧ 1
に対応し，すでに成り
立っています。両端の
不等式が a の範囲を決
めます。
ÝÝ ③
逆に，③の 4 数は整数であり，a + b + c + d = 0，a ¡ b = c ¡ d = 1，b ¡ c = p ¡ 1 > 0
を満たす。また，(*4)
(*4) 候補を求めた後，
2
ad ¡ bc + p = ¡
整数であることと，問
題文の 3 条件を満たす
ことを確認します。
2
(p + 1)
(p ¡ 1)
+
+p=0
4
4
である。したがって，求める a; b; c; d は③である。
答案記載上の注意点
答案では，因数分解を思いつくまでの説明は必要ありません。ただし，素数の性質を適用する
前の符号確認と，候補を一つに定める根拠は省略しません。
▼ ポイント 1：因数が正の整数であることを示す
整数の積が素数 p になる場合，正の因数どうしの積だけでなく，(¡1)(¡p) も考えられます。
「p は素数だから a + b = p，a + c = 1」とだけ書くと，負の場合を除いた根拠が欠けます。
まず a + b ≧ 0 を示し，積が 0 でないことから正と判断します。そのうえで積の相手も正であ
ることを述べます。
▼ ポイント 2：因数の順序と最後の偶奇を明記する
正の因数が 1 と p に定まっても，どちらが a + b に対応するかを決める必要があります。
b ≧ c より a + b ≧ a + c と書けば十分です。また，p ≦ 2a ≦ p + 2 の後では，p が奇数，
2a が偶数であることを記します。両端の値を除けるため，2a = p + 1 と定まります。
▼ ポイント 3：求めた候補が元の条件を満たすことを確認する
ここまでの計算は，条件を満たす 4 数があるなら③に限られることを示しています。最後に，
その 4 数が実際に条件を満たすことを確認します。和は符号が反対の数どうしで相殺され，大
小関係は隣り合う差で確かめられます。積の条件も，平方の差を使えば短く確認できます。
解説
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# Page. 4

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入試問題解説
1. 素数という条件から，どのような式を目指すか
素数という語から，余りや倍数に関する議論を考えることもあります。しかし，本問の
p = bc ¡ ad には，まず因数分解を試す理由があります。p を正の整数どうしの積にできれ
ば，因数は 1 と p に限られ，4 文字を含む条件を二つの 1 次式に分けられるからです。
もちろん，bc ¡ ad 自体をそのまま因数分解することはできません。そこで，まだ使っていな
い和の条件に着目します。d = ¡(a + b + c) を代入すると，bc + a(a + b + c) となります。
ここで，a2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) とまとめれば，共通因数 a + b が現れ
ます。(*5)
(*5) bc ¡ ad が素数で
この変形は，最初から (a + b)(a + c) を思いつかなければ進めないものではありません。
「素
数の性質を使える積を作りたい」「和の条件で 1 文字を消せる」という二つの判断から，展開
と因数分解を試してみましょう。代入によって文字を減らすだけでなく，残った式の形がどう
も，bc と ad のそれぞ
れが素数や 1 になるわ
けではありません。積
の差と積を区別します。
変わるかまで確認することが大切です。
2. 大小関係は，一度使えば役目が終わるわけではない
a ≧ b ≧ c ≧ d は，解答の異なる場面で使われています。最初は a + b ≧ c + d として符号
を調べ，次に b ≧ c として二つの因数の順序を定めます。さらに，②から b; c; d を a で表
した後も，a ≧ b と c ≧ d を使って範囲を絞っています。
特に，符号を調べる場面では，個々の文字の符号をすべて決める必要はありません。最大の a
が非負，最小の d が非正であることは分かりますが，それだけでは a + b や a + c の符号は
定まりません。因数分解後に必要なのは和の符号なので，上位 2 つと下位 2 つをまとめて比較
します。(*6)
(*6) 各文字の符号で細
また，最後に a ≧ b だけを使うと 2a ≧ p しか分からず，候補は無数に残ります。c ≧ d も使
かく場合分けする前に，
次の議論でどの式の符
号が必要かを確認し
ます。
うことで 2a ≦ p + 2 が加わり，初めて狭い範囲に限定できます。変形が進んだら，元の大小
関係に戻って残りの条件を確かめましょう。
3. 整数条件は，範囲を絞った後に効く
p
p
≦a≦
+ 1 の範囲に無数の候補があります。一方，
2
2
p+1
p が奇数なら両端は整数ではなく，この範囲に入る整数は中央の
だけです。解答では
2
分数を増やさないため，p ≦ 2a ≦ p + 2 と書き，偶奇で決定しました。
②の後では，a を実数と考えると，
この段階で新たな整数問題の技巧は必要ありません。大小関係で幅を狭くし，その範囲に入る
整数を調べるだけです。「整数だから何か特別な方法を使う」と考えるより，まず式と不等式
でどこまで限定できるかを確かめる方が進めやすいです。
なお，p = 2 でも因数分解と符号の議論は変わらず，a + b = 2，a + c = 1 となります。しか
し，最後は 2 ≦ 2a ≦ 4 なので，a = 1; 2 の二つが残ります。対応する 4 数は (1; 1; 0; ¡2)
と (2; 0; ¡1; ¡1) であり，いずれも条件を満たします。(*7) 本問の「3 以上」という条件が使
われる場所も，ここで確認できます。
(*7) 「3 以上」は素数
p を奇数に限定する条
件です。最後の候補数
に影響しています。
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# Page. 5

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入試問題解説
4. 答えの対称性を，初めから仮定してよいか
答えでは a = ¡d，b = ¡c となっています。しかし，和が 0 というだけで，4 数がこのよう
な組になるわけではありません。例えば，(4; 1; 0; ¡5) は和が 0 で大小関係も満たしますが，
a = ¡d ではありません。したがって，最初に d = ¡a，c = ¡b と置くと，条件から示して
いない性質を仮定することになります。
本問では，a + c = 1 と全体の和が 0 であることから b + d = ¡1 であり，この二つの式の
差を取ると，
(a ¡ b) + (c ¡ d) = 2
となります。ここで，a + b = p が奇数なので a ¡ b = p ¡ 2b も奇数であり，c + d = ¡p
が奇数なので c ¡ d = ¡p ¡ 2d も奇数です。しかも，大小関係から両方とも非負なので，ど
ちらも 1 以上です。和が 2 であることから a ¡ b = c ¡ d = 1 と分かります。(*8)
(*8) これは
答えに現れる対称性は，和が 0 であることに加え，素数の性質，大小関係，偶奇を組み合わせ
わりに，隣り合う差を
使って最後の候補を絞
る方法です。
a + b = p と a ¡ b = 1，c + d = ¡p と c ¡ d = 1 をそれぞれ解けば，③に到達します。 p ≦ 2a ≦ p + 2 の代
た結果なのです。
■ 復習のポイント
本問では，下記のポイントを重点的に復習しましょう。
★★★★★ 因数分解への準備：和の条件で 1 文字を消し，素数を整数どうしの積で
表す
★★★★★ 素数の性質を使う前の確認：因数が正の整数であることと，その大小を
示す
★★★★★ 大小関係の再利用：残った文字の下限と上限を求める
★★★★☆ 整数条件の利用：狭い範囲に限定してから，偶奇で値を決める
★★★★☆ 候補の確認：求めた 4 数が整数であり，元の 3 条件を満たすことを確か
める
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入試問題解説
補充問題
p を 3 以上の素数とする。3 個の整数 a，b，c が次の 3 条件
a + b + c = 0;
a3 + b3 + c3 = 6p;
a≧b≧c
を満たすとき，p および (a; b; c) をすべて求めよ。
指針 / アプローチ
本問と同様に，和の条件を利用して素数を含む積の等式を作ることを考えます。今回は 3 次式
なので，c = ¡(a + b) を立方和に代入して整理するか，a3 + b3 + c3 ¡ 3abc の因数分解を
利用します。どちらの方法でも abc = 2p となります。
次に，和が 0 で積が正であることから各文字の符号を定め，負の数の符号を反転して正の整数
で表します。すると，正の整数 u; v に対する uv(u + v) = 2p という条件に直せます。p が
素数なので，u; v; u + v の少なくとも一つは p の倍数です。u または v が p の倍数だと積
が大きくなりすぎることを確かめ，u + v に限定します。
解答
恒等式
a3 + b3 + c3 ¡ 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ¡ ab ¡ bc ¡ ca)
と a + b + c = 0 より，a3 + b3 + c3 = 3abc である。したがって，(*9)
abc = 2p > 0
(*9) 和が 0 という条
ÝÝ ④
3 数はすべて 0 でなく，積が正なので，すべて正であるか，正の数が一つ，負の数が二つであ
件を立方和に利用しま
す。c = ¡(a + b) を
代入して展開しても，
同じ関係になります。
る。すべて正では和が 0 にならないから，大小関係より a > 0 > b ≧ c である。(*10)
(*10) 積の符号だけで
b = ¡u，c = ¡v とおくと，u; v は 1 ≦ u ≦ v を満たす整数であり，a = u + v である。
は各文字の符号は定ま
りません。和が 0 とい
う条件と大小関係も合
わせて使います。
④より，
uv(u + v) = 2p ÝÝ ⑤
p は素数なので，u; v; u + v の少なくとも一つは p の倍数である。もし u または v が p の
倍数なら，uv ≧ p，u + v ≧ p + 1 > 2 となるので，uv(u + v) > 2p となり，⑤に反する。
よって，u + v は p の倍数である。(*11)
(*11) 積が p の倍数な
そこで u + v = kp（k は正の整数）とおくと，⑤より kuv = 2 である。uv = 1 のときは
ら，いずれかの因数が
p の倍数になります。
ここで p が素数である
ことを使います。
u = v = 1 となり，u + v = 2 < p なので不適切である。したがって，uv = 2，k = 1 であ
り，u ≦ v より u = 1，v = 2 となる。よって，
p = 3;
(a; b; c) = (3; ¡1; ¡2)
ÝÝ ⑥
逆に，⑥では p = 3 は素数であり，3 ¡ 1 ¡ 2 = 0，33 + (¡1)3 + (¡2)3 = 18 = 6 ¢ 3，
3 ≧ ¡1 ≧ ¡2 を満たす。したがって，求める p および (a; b; c) は⑥である。
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入試問題解説
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：正の整数に置き換える前に符号を確定する
b = ¡u，c = ¡v と置くだけでは，u; v が正であるとは限りません。abc > 0 より 0 を含ま
ず，負の数は 0 個か 2 個です。和が 0 であることから負の数が 2 個と分かり，大小関係によっ
て b; c が負と決まります。この順に説明してから 1 ≦ u ≦ v と記します。
▼ ポイント 2：素数の性質と，大きさによる除外を区別する
⑤から分かるのは，まず u; v; u + v の少なくとも一つが p の倍数であることまでです。最
初から u + v = p と決めてはいけません。u; v が p の倍数となる場合を不等式で除き，
u + v = kp と置きます。その後，kuv = 2 と和の条件を使って k = 1 に限定します。
▼ ポイント 3：p の決定と候補の確認まで書く
本問では与えられた素数 p に応じて 4 数を表しましたが，補充問題では条件を満たす p 自体
も求めます。u = 1; v = 2 だけで終えず，p = u + v = 3 と (a; b; c) = (3; ¡1; ¡2) を
明記します。最後に，p が指定された素数であり，3 数が元の条件を満たすことを確認します。
解説
1. 恒等式を思い出せなくても，和の条件から始められる
3 次式の恒等式を知っていれば，a + b + c = 0 から直ちに a3 + b3 + c3 = 3abc と進められ
ます。しかし，恒等式を思い出せなくても，和の条件を使って 1 文字を消す方法があります。
c = ¡(a + b) を代入すると，
a3 + b3 + c3 = a3 + b3 ¡ (a + b)3 = ¡3ab(a + b) = 3abc
となります。展開すると a3 ; b3 が消え，積の形だけが残ります。本問で d を消したときと同
じく，和の条件で文字を減らした後，式を整理することで因数分解につながります。
この問題で再利用したいのは，特定の因数分解の形ではなく，
「和の条件を，積を作るために使
う」という判断です。代入と恒等式の利用は，どちらも同じ関係を導いています。恒等式を用
いた解答だけを覚えるのではなく，代入によって自分で確かめられるようにしておきましょう。
2. 三つの因数のうち，どれが素数の倍数になるのか
本問では二つの正の整数の積が素数だったため，因数を 1 と p に定められました。補充問題
では三つの正の整数の積が 2p です。因数の値をいきなり決めるより，まず素因数 p がどこ
に含まれるかを調べる方が整理しやすいです。
ここで重要なのは，三つの因数が独立ではなく，三つ目が前の二つの和になっていることです。
u または v が p 以上になると，その和 u + v は p + 1 以上になります。つまり，一つの因
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入試問題解説
数を大きくすると別の因数も大きくなり，積が 2p を超えてしまいます。この関係を使うこと
で，p の倍数となる因数を u + v に限定できます。(*12)
(*12) 正の整数なの
その後も u + v = p と即断せず，u + v = kp と置きます。kuv = 2 から積の候補を挙げ，
で，p の倍数なら p 以
上です。他方の整数が
1 以上であることも
使っています。
u + v = kp に戻して不適切な場合を除きます。積だけでなく，因数間の和の関係を最後まで
使う点が，本問から一歩進んだ内容です。
3. 本問と補充問題で，条件の役割を比較する
どちらの問題も，和の条件から積の等式を作り，符号を確かめて素数の性質を利用します。た
だし，その後の絞り方は異なります。本問では二つの因数を決めた後，元の大小関係と偶奇で
残った文字を一つに限定しました。補充問題では，因数の一つが他の二つの和であることを使
い，p の倍数となる因数を限定しました。
また，補充問題の大小関係は，負の 2 数を b; c に定め，最後に u = 1; v = 2 と順序をそろ
える役割を持ちます。本問のように，最後の整数の範囲を直接狭める条件ではありません。似
た条件が並んでいても，どの段階で何を限定できるかは，変形後の式に応じて判断する必要が
あります。
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