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title: 入試問題解説025cl
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description: 入試問題解説025cl by ブリザードマン
published: November 03, 26
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入試問題解説
第 25 回：解の極限と収束の速さ
2015 滋 賀 医 科 大 学 第 3 問


# Page. 2

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入試問題解説
問題
aを0<a<
¼
を満たす定数とし，方程式
2
x(1 ¡ cos x) = sin(x + a)
を考える。
¼
の範囲でただ 1
2
(1) n を正の整数とするとき，上の方程式は 2n¼ < x < 2n¼ +
つの解をもつことを示せ。
(2) (1) の解を xn とおく。極限 lim (xn ¡ 2n¼) を求めよ。
n!1
sin x
= 1 を用いてよい。
x
x!0
B
(3) 極限 lim n (xn ¡ 2n¼) を求めよ。ただし，lim
n!1
(2015 滋賀医科大学 第 3 問)
■ 本問の学習テーマ・目的
本問では方程式の解を具体的に求めることなく極限を調べます。まずは三角関数の周期
性を利用して t = x ¡ 2n¼ と置き換え，解がただ 1 つ存在することを示しましょう。そ
の後はさみうちの原理を用いて (2) の極限を導きます。(3) では三角関数の極限の公式
B
を用い， n を掛ける理由も確かめます。
指針 / アプローチ
▼ 周期性を用いた置き換え
▼ tn の評価
▼ 2 乗と極限の公式
t = x¡2n¼ とおくと範囲は 0 <
¼
t<
です。sin t で割ると左辺
2
tn = xn ¡ 2n¼ とおいて方程式
から 1 ¡ cos tn を上から抑える
B
は増加し，右辺は減少します。
n tn の 2 乗は nt2n です。これ
t2n
を
を含む積に直し，
1 ¡ cos tn
sin x
lim
= 1 を利用します。
x
x!0
不等式を作ります。不等式を用い
て tn ! 0 を示します。
x = 2n¼ + t とおきます。三角関数の周期性と加法定理を
y
用いて両辺を sin t で割ると方程式は
(2n¼ + t) tan
y = F1 (t)
t
sin a
= cos a +
2
tan t
y = G(t)
となります。左辺は増加し，右辺は減少するので解は高々 1
つです。さらに連続性と両端での極限を調べれば，解がた
だ 1 つ存在することを示せます。
以後はその解を tn としてこの式と与えられた方程式を使い
分けます。
O
t1
¼
2
a=
¼
，n = 1 の場合
6
t
増加関数と減少関数のグラフ
--- 1 ---
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# Page. 3

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入試問題解説
解答
(1)
x = 2n¼ + t とおくと 0 < t <
¼
であり，与えられた方程式は
2
ÝÝ ①
(2n¼ + t)(1 ¡ cos t) = sin(t + a)
となる。sin t > 0 なので両辺を sin t で割ると
(2n¼ + t) tan
t
sin a
= cos a +
2
tan t
ÝÝ ②
となる。ここで
Fn (t) = (2n¼ + t) tan
とおく。0 < t <
t
;
2
G(t) = cos a +
sin a
tan t
¼
で Fn (t) は連続かつ単調増加，G(t) は連続かつ単調減少である。(*1)
2
また
lim Fn (t) = 0;
lim G(t) = 1;
t!+0
t!+0
2
t!
¼
lim Fn (t) = 2n¼ + ;
¼
2
t! ¡0
(*1) 2n¼ + t と
t
tan
はともに正で単
2
調増加です。また
sin a > 0 なので tan t
が増加すると G(t) は
減少します。
lim G(t) = cos a
¼
¡0
2
¼
> cos a である。したがって Fn (t) ¡ G(t) の連続性と単調増加性より，
2
¼
②は 0 < t <
にただ 1 つの解をもつ。よって与えられた方程式も指定された範囲にただ 1
2
であり，2n¼ +
つの解をもつ。
（証明終わり）
(2)
tn = xn ¡ 2n¼ とおく。0 < tn <
¼
，0 < tn + a < ¼ であるから①より
2
0 < 1 ¡ cos tn =
0<u<
sin(tn + a)
1
<
2n¼ + tn
2n¼
¼
における不等式 u < tan u を用いると (*2)
2
0<
F
よって 0 < tn <
t2n
4
< tan2
(*2)
h(u) = tan u ¡ u と
おくと h(0) = 0，
h0 (u) = tan2 u > 0
tn
1 ¡ cos tn
1
=
<
2
1 + cos tn
2n¼
です。したがって
¼
0<u<
では
2
であり，はさみうちの原理から
n¼
2
h(u) > 0 です。
lim (xn ¡ 2n¼) = 0
n!1
(3)
(2) より tn ! 0 である。①を用いて
nt2n =
t2n
sin(tn + a)
¢
t
1 ¡ cos tn
2¼ + nn
2
=
B
sin(tn + a)
tn
tn (1 + cos tn ) $ sin tn <
2¼ + n
¡!
sin a
¼
n tn > 0 なので求める極限は
F
B
lim n (xn ¡ 2n¼) =
n!1
--- 2 ---
sin a
¼
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# Page. 4

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入試問題解説
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：解がただ 1 つ存在することの証明
増加関数と減少関数のグラフの共有点は高々 1 つですが，それだけでは共有点の存在を示した
ことにはなりません。連続性と両端での極限を調べ，両端に近いところで 2 つの関数の大小関
係が逆になることを確かめます。
▼ ポイント 2：極限の公式を用いるための条件
sin tn
! 1 を用いるには先に tn ! 0 を示す必要があります。方程式から 1 ¡ cos tn を上か
tn
F
2
ら抑える不等式を作り，0 < tn <
を導き，はさみうちの原理を用います。
n¼
▼ ポイント 3：nt2n の極限と符号の確認
tn ! 0 でも
B
n tn ! 0 とは限りません。nt2n を積の形に直し，それぞれの部分の極限を求め
ます。最後に平方根を取る際は tn > 0 も明記します。
解説
1. 加法定理と半角の公式による変形
x = 2n¼ + t とおいた方程式では，左辺 (2n¼ + t)(1 ¡ cos t) は t の増加に伴って単調に増
加しますが，右辺 sin(t + a) は増加した後で減少します。そのため両辺の増減を調べるだけ
では解がただ 1 つであることを示せません。
ここで右辺に加法定理を用いると
(2n¼ + t)(1 ¡ cos t) = sin t cos a + cos t sin a
となります。両辺を sin t で割ると右辺の第 1 項は定数となり，第 2 項は t が増すと減少しま
す。一方，左辺の三角関数の部分は半角の公式で
t
2 sin2 2
1 ¡ cos t
t
= tan
=
t
t
sin t
2
2 sin 2 cos 2
と表せます。こうして Fn (t) = G(t) と変形すると，左辺は単調に増加し，右辺は単調に減少
します。
Fn (t) = G(t) を用いると n を増やしたときの tn の変化
y
F5
も調べられます。t を固定すると
F2
t
Fn+1 (t) ¡ Fn (t) = 2¼ tan
>0
2
なので y = Fn (t) のグラフは n が大きいほど上にありま
F1
す。一方，y = G(t) のグラフは変わりません。共有点の t
G
座標は小さくなり，tn+1 < tn となります。
ただし tn > 0 で単調に減少することだけでは極限が 0 と
は限りません。(2) では方程式①を用いて tn を上から抑え
る不等式を作り，はさみうちの原理で極限を求めています。
--- 3 ---
O
t5
t2
a=
t
t1
¼
の場合
6
n の増加に伴う共有点の移動
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# Page. 5

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入試問題解説
2. 不等式による tn の評価
方程式①より 0 < 1 ¡ cos tn <
1
です。半角の公式と u < tan u を用いると，次の不等
2n¼
式が成り立ちます。
t2n
tn
1 ¡ cos tn
1
< tan2
=
< 1 ¡ cos tn <
4
2
1 + cos tn
2n¼
1 + cos tnF> 1 なので分母を 1 に置き換えると値が大きくなります。この不等式から
2
0 < tn <
となり，右端が 0 に収束するのではさみうちの原理より tn ! 0 です。ただ
n¼
しこの不等式だけでは tn が 0 に近づく速さまでは正確に分かりません。
B
3. n tn の極限と収束の速さ
まず lim
x!0
sin x
= 1 を利用すると
x
1 ¡ cos t
sin t 2
1
1
#
; =
=
lim
t
2
t2
t!0
t!0 1 + cos t
lim
です。つまり t が 0 に十分近いとき，1 ¡ cos t ≒
t2
と近似できます。この関係をうまく利
2
用するため，解答 (3) では先に nt2n の極限を計算しています。
方程式
y
(2n¼ + tn )(1 ¡ cos tn ) = sin(tn + a)
の左辺を 2n¼ ¢
y=
t2
2
t2n
，右辺を sin a で近似すると，nt2n の極
2
sin a
と予想できます。
¼
解答 (3) では nt2n を積の形に直し，それぞれの部分の極限
限は
を求めてこの予想を証明しています。
y = 1 ¡ cos t
t
O
原点付近の y = 1 ¡ cos t と y =
t2
2
F
B
1
sin a
(3) より xn ¡ 2n¼ と B の比は正の定数
に近づきます。xn ¡ 2n¼ に n を掛
¼
n
1
けるのは B との比によって 0 に近づく速さを調べるためです。
n
■ 復習のポイント
★★★★★ 置き換え：周期に合わせて tn = xn ¡ 2n¼ とおきます
★★★★★ 解がただ 1 つ存在することの証明：連続性，単調性，両端での極限を調べ
ます
sin x
= 1 を利用する前に不等式で tn ! 0 を示します
x
x!0
1 ¡ cos t
1
を用いて nt2n の極限を求めます
★★★★★ 三角関数の極限の公式：
!
2
2
tB
★★★★☆ 近づく速さ：nt2n の極限から n tn の極限を求めます
★★★★★ 証明の順序：lim
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