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title: EulerFormulaProof.tex
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description: EulerFormulaProof.tex by Kz
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# Page. 1

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オイラーの公式の証明
テイラー展開および微分方程式によるアプローチ
2026年3月28日


# Page. 2

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オイラーの公式の定義
オイラーの公式 (Euler’s formula)
任意の実数 θ に対して、以下の等式が成り立つ。
eiθ = cos θ + i sin θ
(1)
ここで、e はネイピア数、i は虚数単位（i 2 = −1）である。
本資料では、式(1)の妥当性を示すため、以下の2つの数学的手法を用いて証明を
行う。
1
マクローリン展開（テイラー展開）を用いた証明
2
微分方程式を用いた証明


# Page. 3

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証明手法1：マクローリン展開によるアプローチ I
無限回微分可能な関数 f (x) の原点 x = 0 におけるテイラー展開（マクローリン展
開）は次のように与えられる。
f (x) =
∞ (n)
X
f (0)
n=0
n!
x n = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
x + ...
2!
(2)
指数関数 ex 、余弦関数 cos x、正弦関数 sin x のマクローリン展開は、それぞれ以
下の級数として表現される。


# Page. 4

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証明手法1：マクローリン展開によるアプローチ II
x2 x3 x4 x5
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
x2 x4 x6
cos x = 1 −
+
−
+ ...
2!
4!
6!
x3 x5 x7
sin x = x −
+
−
+ ...
3!
5!
7!
ex = 1 + x +
(3)
(4)
(5)


# Page. 5

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証明手法1：マクローリン展開によるアプローチ III
複素関数への拡張を前提とし、式(3)における変数 x に純虚数 iθ を代入する。この
際、虚数単位 i の累乗の周期性（i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1, . . . ）を利用す
る。
代入を実行すると以下の級数を得る。
(iθ)2 (iθ)3 (iθ)4 (iθ)5
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
θ2
θ3 θ4
θ5
= 1 + iθ −
−i +
+ i − ...
2!
3!
4!
5!
eiθ = 1 + (iθ) +


# Page. 6

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証明手法1：マクローリン展開によるアプローチ IV
得られた級数を実部（i を含まない項）と虚部（i を含む項）に分離する。これら
の級数は絶対収束するため、項の並べ替えは解析的に正当化される。




θ2 θ4
θ3 θ5
e = 1−
+
− ... + i θ −
+
− ...
2!
4!
3!
5!
iθ
括弧内の級数は、それぞれ式(4)および式(5)で示した cos θ と sin θ のマクローリン
展開に他ならない。
したがって、次式が導出される。
eiθ = cos θ + i sin θ
これにより、マクローリン展開を用いた証明が完了する。
(6)


# Page. 7

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証明手法2：微分方程式によるアプローチ I
関数 f (θ) を次のように定義する。
f (θ) = e−iθ (cos θ + i sin θ)
この関数 f (θ) を変数 θ で微分する。積の微分法則を適用する。
df (θ)
d  −iθ 
d
=
e
(cos θ + i sin θ) + e−iθ (cos θ + i sin θ)
dθ
dθ
dθ
= −ie−iθ (cos θ + i sin θ) + e−iθ (− sin θ + i cos θ)
(7)


# Page. 8

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証明手法2：微分方程式によるアプローチ II
右辺を e−iθ でくくり、整理を行う。


df (θ)
= e−iθ −i cos θ − i 2 sin θ − sin θ + i cos θ
dθ
= e−iθ (−i cos θ + sin θ − sin θ + i cos θ)
= e−iθ · 0
=0
すべての θ に対して導関数が 0 であるため、関数 f (θ) は定数関数であることが示
された。すなわち、f (θ) = C（C は積分定数）である。


# Page. 9

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証明手法2：微分方程式によるアプローチ III
定数 C を決定するために、初期条件として θ = 0 を代入する。
f (0) = e−i·0 (cos 0 + i sin 0)
= 1 · (1 + i · 0)
=1
したがって、任意の θ に対して f (θ) = 1 である。
式(7)に代入すると、
e−iθ (cos θ + i sin θ) = 1
両辺に指数法則より eiθ を乗じることで、目的の等式を得る。
eiθ = cos θ + i sin θ
(8)


# Page. 10

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応用：オイラーの等式
オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ において、偏角 θ = π を代入する。
eiπ = cos π + i sin π
= −1 + i · 0
= −1
移項して整理することで、「オイラーの等式」が導出される。
オイラーの等式 (Euler’s identity)
eiπ + 1 = 0
(9)
この等式は、解析学（e）、代数学（i）、幾何学（π）、および算術の基本単位
（0, 1）を一つの簡潔な関係式で結びつけており、数学における重要な恒等式と
して位置づけられる。