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title: 論理I(sint講義) 04122026
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author: [大川航平(Koheio)](https://www.docswell.com/user/2449808)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: 集合と位相i
published: April 07, 26
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# Page. 1

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集合と位相 I
おふねこ (SINT)
指導教官:G.Muhiuddin
April 12,2026
1 / 30


# Page. 2

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1
導入
2
べき集合
3
直積集合
4
写像の基礎と「像・逆像」
2 / 30


# Page. 3

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1
導入
2
べき集合
3
直積集合
4
写像の基礎と「像・逆像」
3 / 30


# Page. 4

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導入
• この講義では、現代数学の基礎となる「集合」と「位相」につい
て学びます。
• 特に、集合の基本的な操作から始め、抽象的な空間の概念である
「位相空間」へと進みます。
• これらの概念は、解析学、幾何学、代数学など、様々な数学分野
で不可欠なツールとなります。
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# Page. 5

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集合の基本操作の復習
• 包含関係: A ⊆ B (A が B の部分集合である)
• 和集合: A ∪ B = {x | x ∈ A または x ∈ B}
• 共通部分: A ∩ B = {x | x ∈ A かつ x ∈ B}
• 補集合: Ac = {x | x ∈
/ A}
ポイント
これらの記号と定義は、今後の議論の基礎となります。
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# Page. 6

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ド・モルガンの法則
• (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
• (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
なぜ重要か？
集合の操作を補集合と関連付けることで、より複雑な集合の関係を理
解するのに役立ちます。
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# Page. 7

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べき集合の定義
定義
集合 X のべき集合 P(X) とは、X のすべての部分集合を要素とする
集合である。すなわち、P(X) = {A | A ⊆ X} と定義される。
例
X = {a, b} のとき、P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
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# Page. 8

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べき集合の例
例
X = {1, 2, 3} のとき、
P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 要素の数は
2|X| となる。
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# Page. 9

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べき集合と位相
ポイント
「位相」とは、このべき集合 P(X) の部分集合として定義されます。
• 位相は、集合 X 上に「開集合」という特別な部分集合の族を定
めることで、空間の「近さ」や「連続性」といった概念を抽象的
に捉えるための枠組みを提供します。
• したがって、べき集合の理解は位相空間論を学ぶ上で不可欠
です。
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# Page. 10

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1
導入
2
べき集合
3
直積集合
4
写像の基礎と「像・逆像」
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# Page. 11

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べき集合の定義
定義
集合 X のべき集合 P(X) とは、X のすべての部分集合を要素とする
集合である。すなわち、P(X) = {A | A ⊆ X} と定義される。
例
X = {a, b} のとき、P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
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# Page. 12

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73WPM6Z75.jpg)

べき集合の例
例
X = {1, 2, 3} のとき、
P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 要素の数は
2|X| となる。
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# Page. 13

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べき集合と位相
ポイント
「位相」とは、このべき集合 P(X) の部分集合として定義されます。
• 位相は、集合 X 上に「開集合」という特別な部分集合の族を定
めることで、空間の「近さ」や「連続性」といった概念を抽象的
に捉えるための枠組みを提供します。
• したがって、べき集合の理解は位相空間論を学ぶ上で不可欠
です。
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# Page. 14

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有限個の和集合・共通部分
• これまでは 2 つの集合の和集合や共通部分を扱ってきました。
• 有限個の集合 A1 , A2 , . . . , An の場合も同様に定義できます。
∪
• 和集合: A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = nk=1 Ak
∩
• 共通部分: A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = nk=1 Ak
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# Page. 15

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集合族とインデックス集合
定義
集合族とは、集合を要素とする集合のことである。インデックス集合
I を用いて、集合族を {Ai }i∈I と表す。
• インデックス集合 I は、有限集合でも無限集合でもよい。
• I = N (自然数全体の集合) の場合、可算無限個の集合の族と
なる。
• I = R (実数全体の集合) の場合、非可算無限個の集合の族と
なる。
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# Page. 16

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一般の和集合の定義
定義
集合族 {Ai }i∈I の一般の和集合は、次のように定義される。
∪
Ai = {x | ∃i ∈ I, x ∈ Ai }
i∈I
これは、「少なくとも一つの Ai に属する要素 x 全体の集合」を意味
する。
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# Page. 17

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一般の共通部分の定義
定義
集合族 {Ai }i∈I の一般の共通部分は、次のように定義される。
∩
Ai = {x | ∀i ∈ I, x ∈ Ai }
i∈I
これは、「すべての Ai に属する要素 x 全体の集合」を意味する。
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# Page. 18

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一般の和集合・共通部分の図解
A1
∪
A2
i∈I Ai のイメージ
A3
• インデックス集合 I が非可算の場合でも、この定義は有効です。
• 例えば、実数 t ∈ [0, 1] に対して、区間 At = [t, t + 1] を考えるこ
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とができます。


# Page. 19

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1
導入
2
べき集合
3
直積集合
4
写像の基礎と「像・逆像」
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# Page. 20

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順序対の定義
定義
集合 X の要素 x と集合 Y の要素 y からなる順序対 (x, y) は、x と
y の順序を込めた組である。
• 順序対では、要素の順序が重要である。すなわち、
(x, y) = (x′ , y ′ ) ならば x = x′ かつ y = y ′ である。
• また、x ̸= y のとき、(x, y) ̸= (y, x) である。
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# Page. 21

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直積集合の定義
定義
集合 X と集合 Y の直積集合 X × Y は、
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } と定義される。
例
X = {a, b}, Y = {1, 2} のとき、X × Y = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
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# Page. 22

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直積集合の例：座標平面
例
実数全体の集合 R を用いると、R × R = R2 = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}
これは、私たちがよく知っている座標平面を表します。
y
(1.5, 2)
2
1
x
-2 -1
-1
-2
1 2
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# Page. 23

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1
導入
2
べき集合
3
直積集合
4
写像の基礎と「像・逆像」
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# Page. 24

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写像の定義
定義
集合 X から集合 Y への写像 f : X → Y とは、X の各要素 x に対し
て、Y の要素 f (x) をただ一つ対応させる規則である。
• X を定義域 (domain)、Y を終域 (codomain) と呼ぶ。
• f (x) を x の像 (image) と呼ぶ。
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# Page. 25

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像の定義
定義
写像 f : X → Y と X の部分集合 A ⊆ X に対して、A の像 f (A) は
次のように定義される。
f (A) = {f (x) | x ∈ A}
これは、「A の要素の像全体の集合」を意味する。
例
f : R → R, f (x) = x2 とする。A = [−1, 2] のとき、f (A) = [0, 4] と
なる。
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# Page. 26

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逆像の定義
定義
写像 f : X → Y と Y の部分集合 B ⊆ Y に対して、B の逆像
f −1 (B) は次のように定義される。
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}
これは、「B の要素に写される X の要素全体の集合」を意味する。
例
f : R → R, f (x) = x2 とする。B = [1, 4] のとき、
f −1 (B) = [−2, −1] ∪ [1, 2] となる。
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# Page. 27

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像の性質：共通部分の非保存
注意
像は、必ずしも共通部分を保存しません。
例
X = {1, 2}, Y = {a} とし、f (1) = a, f (2) = a とする。A1 = {1},
A2 = {2} とすると、A1 ∩ A2 = ∅ である。しかし、f (A1 ) = {a},
f (A2 ) = {a} なので、f (A1 ) ∩ f (A2 ) = {a} となる。したがって、
f (A1 ∩ A2 ) = ∅ ̸= {a} = f (A1 ) ∩ f (A2 )。
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# Page. 28

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逆像の性質：和集合の保存
定理
写像 f : X → Y と Y の部分集合 B1 , B2 ⊆ Y に対して、
f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
証明の概略.
x ∈ f −1 (B1 ∪ B2 ) ⇐⇒ f (x) ∈ B1 ∪ B2 ⇐⇒ f (x) ∈
B1 または f (x) ∈ B2 ⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) または x ∈ f −1 (B2 ) ⇐⇒
x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )。
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# Page. 29

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逆像の性質：共通部分の保存
定理
写像 f : X → Y と Y の部分集合 B1 , B2 ⊆ Y に対して、
f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
証明の概略.
x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ) ⇐⇒ f (x) ∈ B1 ∩ B2 ⇐⇒ f (x) ∈ B1 かつ f (x) ∈
B2 ⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) かつ x ∈ f −1 (B2 ) ⇐⇒ x ∈
f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )。
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# Page. 30

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逆像の性質：補集合の保存
定理
写像 f : X → Y と Y の部分集合 B ⊆ Y に対して、
f −1 (B c ) = (f −1 (B))c
まとめ
逆像は、和集合、共通部分、補集合といった集合演算を「きれいに」保
存します。この性質は、位相空間論において非常に重要となります。
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